Câu 15 trang 7 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Biết số tự nhiên a chia cho 5 dư 4. Chứng minh rằng ({a^2}) chia cho 5 dư 1.
Giải:
Số tự nhiên a chia cho 5 dư 4 ⟹a=5k+4 (k∈N)
Ta có: (eqalign{ & {a^2} = {left( {5k + 4} right)^2} = 25{k^2} + 40k + 16 = 25{k^2} + 40k + 15 + 1 cr & cr} )
( = 5left( {5{k^2} + 8k + 3} right) + 1)
( = 5left( {5{k^2} + 8k + 3} right) + 1 vdots 5) .
Vậy ({a^2} = {left( {5k + 4} right)^2}) chia cho 5 dư 1
Câu 16 trang 7 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Tính giá trị của các biểu thức sau:
a. ({x^2} – {y^2}) tại (x = 87) và (y = 13)
b. ({x^3} – 3{x^2} + 3x – 1) tại (x = 101)
c. ({x^3} + 9{x^2} + 27x + 27) tại (x = 97)
Giải:
a. ({x^2} – {y^2})(= left( {x + y} right)left( {x – y} right)) . Thay (x = 87;y = 13)
Ta có: ({x^2} – {y^2})( = left( {x + y} right)left( {x – y} right))
( = left( {87 + 13} right)left( {87 – 13} right) = 100.74 = 7400)
b. ({x^3} – 3{x^2} + 3x – 1) ( = {left( {x – 1} right)^3})
Thay (x = 101)
Ta có: ({left( {x – 1} right)^3} = {left( {101 – 1} right)^3} = {100^3} = 1000000)
c. ({x^3} + 9{x^2} + 27x + 27) ( = {x^3} + 3.{x^2}.3 + 3.x{.3^2} + {3^3} = {left( {x + 3} right)^3})
Thay (x = 97) ta có:
({left( {x + 3} right)^3} = {left( {97 + 3} right)^3} = {100^3} = 1000000)
Câu 17 trang 7 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Chứng minh rằng:
a. (left( {a + b} right)left( {{a^2} – ab + {b^2}} right) + left( {a – b} right)left( {{a^2} + ab + {b^2}} right) = 2{a^3})
b. (left( {a + b} right)left[ {{{left( {a – b} right)}^2} + ab} right] = left( {a + b} right)left[ {{a^2} – 2ab + {b^2} + ab} right] = {a^3} + {b^3})
c. (left( {{a^2} + {b^2}} right)left( {{c^2} + {d^2}} right) = {left( {ac + bd} right)^2} + {left( {ad – bc} right)^2})
Giải:
a. Biến đổi vế trái:
(eqalign{ & left( {a + b} right)left( {{a^2} – ab + {b^2}} right) + left( {a – b} right)left( {{a^2} + ab + {b^2}} right) cr & = a{}^3 + {b^3} + {a^3} – {b^3} = 2{a^3} cr} )
Vế trái bằng vế phải, đẳng thức được chứng minh.
b. Biến đổi vế phải:
(eqalign{ & left( {a + b} right)left[ {{{left( {a – b} right)}^2} + ab} right] = left( {a + b} right)left[ {{a^2} – 2ab + {b^2} + ab} right] cr & = left( {a + b} right)left( {{a^2} – ab + {b^2}} right) = {a^3} + {b^3} cr} )
Vế phải bằng vế trái, vậy đẳng thức được chứng minh.
c. Biến đổi vế phải:
(eqalign{ & {left( {ac + bd} right)^2} + {left( {ad – bc} right)^2} = {a^2}{c^2} + 2abcd + {b^2}{d^2} + {a^2}{d^2} – 2abcd + {b^2}{c^2} cr & = {a^2}{c^2} + {b^2}{d^2} + {a^2}{d^2} + {b^2}{c^2} = cleft( {{a^2} + {b^2}} right) + {d^2}left( {{a^2} + {b^2}} right) cr & = left( {{a^2} + {b^2}} right)left( {{c^2} + {d^2}} right) cr} )
Vế phải bằng vế trái, đẳng thức được chứng minh.
Câu 18 trang 7 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Chứng tỏ rằng:
a. ({x^2} – 6x + 10 > 0) với mọi (x)
b. (4x – {x^2} – 5 < 0) với mọi (x)
Giải:
a. ({x^2} – 6x + 10 = {x^2} – 2.x.3 + 9 + 1 = {left( {x – 3} right)^2} + 1)
Ta có: ({left( {x – 3} right)^2} ge 0) với mọi (x) nên ({left( {x – 3} right)^2} + 1 > 0) mọi (x)
Vậy ({x^2} – 6x + 10 > 0) với mọi (x)
b. (4x – {x^2} – 5 = – left( {{x^2} – 4x + 4} right) – 1 = – {left( {x – 2} right)^2} – 1)
Ta có: ({left( {x – 2} right)^2} ge 0) với mọi ⇒( – {left( {x – 2} right)^2} le 0) mọi (x)
⇒( – {left( {x – 2} right)^2} – 1 < 0) với mọi (x)
Vậy (4x – {x^2} – 5 < 0)với mọi (x)
Giaibaitap.me