Bài 1.8 trang 8 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) (tan x > sin x,0 < x < {pi over 2})
b) (1 + {1 over 2}x – {{{x^2}} over 8} < sqrt {1 + x} < 1 + {1 over 2}x) với (0 < x < + infty )
Hướng dẫn làm bài:
a) Xét hàm số (f(x) = tan x – sin x) trên nửa khoảng ({rm{[}}0;{pi over 2})) ;
(f'(x) = {1 over {{{cos }^2}x}} – cos x = {{1 – {{cos }^3}x} over {{{cos }^2}}} ge 0;x in {rm{[}}0;{1 over 2}))
Dấu “=” xảy ra khi x = 0.
Suy ra f(x) đồng biến trên nửa khoảng ({rm{[}}0;{pi over 2}))
Mặt khác, ta có f(0) = 0, nên f(x) = tan x – sin x > 0 hay tan x > sin x với mọi (x in {rm{[}}0;{1 over 2}))
b) Xét hàm số (h(x) = 1 + {1 over 2}x – sqrt {1 + x}) trên $${rm{[}}0; + infty )$$
(eqalign{
& h'(x) = {1 over 2} – {1 over {2sqrt {1 + x} }} ge 0 cr
& 1 + {1 over 2}x – {{{x^2}} over 8} < sqrt {1 + x} ,0 le x le + infty cr} )
Dấu “=” xẩy ra chỉ tại x = 0 nên h(x) đồng biến trên nửa khoảng ({rm{[}}0; + infty )).
Vì h(x) = 0 nên (h(x) = 1 + {1 over 2}x – sqrt {1 + x} > 0)
Hay (1 + {1 over 2}x > sqrt {1 + x} ) với (0 le x < + infty )
Xét hàm số trên (f(x) = sqrt {1 + x} – 1 – {1 over 2}x + {{{x^2}} over 8}) trên ({rm{[}}0; + infty )) ;
(eqalign{
& g(x) = f'(x) = {1 over {2sqrt {1 + x} }} – {1 over 2} + {x over 4} cr
& g'(x) = {1 over 4} – {1 over {4(1 + x)sqrt {1 + x} }} ge 0,0 le x < + infty cr} )
Vì g(0) = 0 và g(x) đồng biến trên nửa khoảng ({rm{[}}0; + infty )) nên (g(x) ge 0) , tức là (f'(x) ge 0) trên khoảng đó và vì dấu “=” xảy ra chỉ tại x = 0 nên f(x) đồng biến trên nửa khoảng .
Mặt khác, ta có f(0) = 0 nên
(f(x) = sqrt {1 + x} – 1 – {1 over 2}x + {{{x^2}} over 8} > 0)
hay (1 + {1 over 2}x – {{{x^2}} over 8} < sqrt {1 + x} )
Với mọi (0 < x < + infty ).
Bài 1.9 trang 9 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12
Chứng minh rằng phương trình ({x^3} – 3x + c = 0) không thể có hai nghiệm thực trong đoạn [0; 1].
Hướng dẫn làm bài:
Đặt (f(x) = {x^3} – 3x + C) . TXĐ: R
(f'(x) = 3{x^2} – 3 = 3({x^2} – 1))
(f'(x) = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = 1 hfill cr
x = – 1 hfill cr} right.)
Bảng biến thiên:
Trên đoạn [0; 1] hàm số f(x) nghịch biến nên đồ thị của hàm số f(x) không thể cắt trục hoành tại hai điểm trên đoạn này, tứclà phương trình x3 – 3x + C = 0 không thể có hai nghiệm thực trên đoạn [0; 1].
Bài 1.10 trang 9 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12
Xác định giá trị của b để hàm số f(x) = (sin x – bx + c) nghịch biến trên toàn trục số.
Hướng dẫn làm bài:
(f(x) = sin x – bx + c) nghịch biến trên R nếu ta có:
(f'(x) = cos x – b le 0,forall x in R) .
Vì (|cos x| le 1) nên (f'(x) le 0,forall x in R < = > b ge 1.)
Giaibaitap.me