Giải bài 27, 28 ,29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38 ,39 , 40, 41, 42 trang 41, 42, 46, 47 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 27 trang 41 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Giải các phương trình sau :
a. (2cos x – sqrt 3 = 0)
b. (sqrt 3 tan 3x – 3 = 0)
c. (left( {sin x + 1} right)left( {2cos 2x – sqrt 2 } right) = 0)
Giải
a.
(eqalign{
& 2cos x – sqrt 3 = 0 Leftrightarrow cos x = {{sqrt 3 } over 2} Leftrightarrow cos x = cos {pi over 6} cr
& Leftrightarrow x = pm {pi over 6} + k2pi ,k inmathbb Z cr} )
b.
(eqalign{
& sqrt 3 tan 3x – 3 = 0 Leftrightarrow tan 3x = sqrt 3 Leftrightarrow tan 3x = tan {pi over 3} cr
& Leftrightarrow 3x = {pi over 3} + kpi Leftrightarrow x = {pi over 9} + k{pi over 3};k inmathbb Z cr} )
c.
(eqalign{& left( {sin x + 1} right)left( {2cos 2x – sqrt 2 } right) = 0 cr & Leftrightarrow left[ {matrix{{sin x + 1 = 0} cr {2cos 2x – sqrt 2 = 0} cr} } right. Leftrightarrow left[ {matrix{{sin x = – 1} cr {cos 2x = {{sqrt 2 } over 2}} cr} } right. cr & Leftrightarrow left[ {matrix{{x = – {pi over 2} + k2pi } cr {2x = pm {pi over 4} + k2pi } cr} } right. Leftrightarrow left[ {matrix{{x = – {pi over 2} + k2pi } cr {2x = pm {pi over 8} + kpi } cr} } right. cr} )
Câu 28 trang 41 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Giải các phương trình sau :
a. (2{cos ^2}x – 3cos x + 1 = 0)
b. ({cos ^2}x + sin x + 1 = 0)
c. (sqrt 3 {tan ^2}x – left( {1 + sqrt 3 } right)tan x + 1 = 0)
Giải
a. Đặt (t = cos x), (|t| ≤ 1) ta có:
(2{t^2} – 3t + 1 = 0 Leftrightarrow left[ {matrix{{t = 1} cr {t = {1 over 2}} cr} } right. Leftrightarrow left[ {matrix{{cos x = 1} cr {cos x = {1 over 2}} cr} } right. Leftrightarrow left[ {matrix{{x = k2pi } cr {x = pm {pi over 3} + k2pi } cr} left( {k inmathbb Z} right)} right.)
b. Ta có:
(eqalign{& {cos ^2}x + sin x + 1 = 0 Leftrightarrow 1 – {sin ^2}x + sin x + 1 = 0 cr & Leftrightarrow {sin ^2}x – sin x – 2 = 0 Leftrightarrow left[ {matrix{{sin x = – 1} cr {sin x = 2,left( {text {loại }} right)} cr} } right. Leftrightarrow x = – {pi over 2} + k2pi cr} )
c.
(sqrt 3 {tan ^2}x – left( {1 + sqrt 3 } right)tan x + 1 = 0 Leftrightarrow left[ {matrix{{tan x = 1} cr
{tan x = {1 over {sqrt 3 }}} cr} } right. Leftrightarrow left[ {matrix{{x = {pi over 4} + kpi } cr {x = {pi over 6} + kpi } cr} } right.left( {k inmathbb Z} right))
Câu 29 trang 41 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Giải các phương trình sau trên khoảng đã cho rồi dùng bảng số hoặc máy tính bỏ túi để tính gần đúng nghiệm của chúng (tính chính xác đến hàng phần trăm) :
a. (3cos 2x + 10sin x + 1 = 0) trên (left( { – {pi over 2};{pi over 2}} right))
b. (4cos 2x + 3 = 0) trên (left( {0;{pi over 2}} right))
c. ({cot ^2}x – 3cot x – 10 = 0) trên (left( {0;pi } right))
d. (5 – 3tan 3x = 0) trên (left( { – {pi over 6};{pi over 6}} right))
Giải
a. Ta có:
(eqalign{& 3cos 2x + 10sin x + 1 = 0 cr & Leftrightarrow – 6{sin ^2}x + 6sin x + 4 = 0 Leftrightarrow left[ {matrix{{sin x = – {1 over 3}} cr {sin x = 2,left( {text{ loại }} right)} cr} } right. cr} )
Phương trình (sin x = – {1 over 3}) có nghiệm gần đúng là (x ≈ -0,34)
b. Ta thấy (0 < x < {pi over 2} Leftrightarrow 0 < 2pi < pi .) Với điều kiện đó, ta có :
(4cos 2x + 3 = 0 Leftrightarrow cos 2x = – {3 over 4} Leftrightarrow 2x = alpha Leftrightarrow x = {alpha over 2},)
trong đó (α) là số thực thuộc khoảng ((0 ; π)) thỏa mãn (cos alpha = – {3 over 4}). Dùng bảng số hoặc máy tính, ta tìm được (α ≈ 2,42). Từ đó nghiệm gần đúng của phương trình là (x = {alpha over 2} approx 1,21)
c. ({cot ^2}x – 3cot x – 10 = 0 Leftrightarrow left[ {matrix{{cot x = 5} cr {cot x = – 2} cr} } right.)
Nghiệm gần đúng của phương trình trong khoảng ((0; π)) là (x ≈ 0,2; x ≈ 2,68)
d. (x in left( { – {pi over 6};{pi over 6}} right) Leftrightarrow 3x in left( { – {pi over 2};{pi over 2}} right).) Với điều kiện đó, ta có :
(5 – 3tan 3x = 0 Leftrightarrow tan 3x = {5 over 3} Leftrightarrow 3x = beta Leftrightarrow x = {beta over 3},)
Trong đó (β) là số thực thuộc khoảng (left( { – {pi over 2};{pi over 2}} right)) thỏa mãn (tan beta = {5 over 3};) bảng số hoặc máy tính cho ta (β ≈ 1,03). Vậy nghiệm gần đúng của phương trình là (x ≈ 0,34).
Câu 30 trang 41 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Giải các phương trình sau :
a. (3cos x + 4sin x = -5)
b. (2sin2x – 2cos2x = sqrt 2 )
c. (5sin2x – 6cos^2 x = 13)
Giải
a. Chia hai vế phương trình cho (sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5) ta được :
(eqalign{
& {3 over 5}cos x + {4 over 5}sin x = – 1 Leftrightarrow cos xcos alpha + sin xsin alpha = – 1 cr
& left( {text{ trong đó },cos alpha = {3 over 5}text { và },sin alpha = {4 over 5}} right) cr
& text{ Ta có },:,cos left( {x – alpha } right) = – 1 Leftrightarrow x – alpha = pi + k2pi cr
& ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Leftrightarrow x = pi + alpha + k2pi ,k in Z cr} )
b. Chia hai vế phương trình cho (sqrt {{2^2} + {2^2}} = 2sqrt 2 ) ta được :
(eqalign{& {1 over {sqrt 2 }}sin 2x – {1 over {sqrt 2 }}cos 2x = {1 over 2} Leftrightarrow sin 2xcos {pi over 4} – cos 2xsin {pi over 4} = {1 over 2} cr & Leftrightarrow sin left( {2x – {pi over 4}} right) = {1 over 2} Leftrightarrow left[ {matrix{{2x – {pi over 4} = {pi over 6} + k2pi } cr {2x – {pi over 4} = pi – {pi over 6} + k2pi } cr} } right. Leftrightarrow left[ {matrix{{x = {{5pi } over {24}} + kpi } cr {x = {{13pi } over {24}} + kpi } cr} } right.,k in mathbb Z cr} )
c.
(eqalign{
& 5sin 2x – 6{cos ^2}x = 13 Leftrightarrow 5sin 2x – 3left( {1 + cos 2x} right) = 13 cr
& ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Leftrightarrow 5sin 2x – 3cos 2x = 16 cr} )
Chia cả hai vế cho (sqrt {{5^2} – {3^2}} = sqrt {34} ) ta được :
({5 over {sqrt {34} }}sin 2x – {3 over {sqrt {34} }}cos 2x = {{16} over {sqrt {34} }})
Do ({left( {{5 over {sqrt {34} }}} right)^2} + {left( {{3 over {sqrt {34} }}} right)^2} = 1) nên ta chọn được số (α) sao cho :
(cos alpha = {5 over {sqrt {34} }},text{ và },sin alpha = {3 over {sqrt {34} }})
Ta có: (5sin 2x – 6{cos ^2}x = 13 Leftrightarrow sin left( {2x – alpha } right) = {{16} over {sqrt {34} }} > 1)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Câu 31 trang 41 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Một vật nặng treo bởi một chiếc lò xo, chuyển động
Khoảng cách
lên xuống qua vị trí cân bằng (h. 1.27).
(h) từ vật đó đến vị trí cân bằng ở thời điểm (t) giây
được tính theo công thức (h = |d|) trong đó
(d = 5sin6t – 4cos6t),
với (d) được tính bằng xentimet, ta quy ước rằng (d > 0)
khi vật ở phía trên vị trí cân bằng, (d < 0) khi vật ở phía
dưới vị trí cân bằng. Hỏi :
a. Ở thời điểm nào trong 1 giây đầu tiên, vật ở vị trí cân bằng ?
b. Ở thời điểm nào trong 1 giây đầu tiên, vật ở xa vị trí cân bằng nhất ?
(Tính chính xác đến ({1 over {100}}) giây).
Giải
Ta có:(5sin 6t – 4cos6t = sqrt {41} left( {{5 over {sqrt {41} }}sin 6t – {4 over {sqrt {41} }}cos 6t} right) = sqrt {41} sin left( {6t – alpha } right)) , trong đó số (α) được chọn sao cho (cos alpha = {5 over {sqrt {41} }},text{ và },sin alpha = {4 over {sqrt {41} .}}) Sử dụng bảng số hoặc máy tính bỏ túi, ta chọn được (α ≈ 0,675).
a. Vật ở vị trí cân bằng khi (d = 0), nghĩa là (sin(6t – α) = 0)
( Leftrightarrow t = {alpha over 6} + k{pi over 6}) (với (k inmathbb Z))
Ta cần tìm (k) nguyên dương sao cho (0 ≤ t ≤ 1)
(0 ≤ t ≤ 1 ⇔ 0 le {alpha over 6} + k{pi over 6} le 1 Leftrightarrow – {alpha over pi } le k le {{6 – alpha } over pi })
Với (α ≈ 0,675), ta thu được (-0,215 < k < 1), nghĩa là . Vậy trong khoảng 1 giây đầu tiên, có hai thời điểm vật ở vị trí cân bằng là :
(t approx {alpha over 6} approx 0,11) (giây) và (t = {alpha over 6} + {pi over 6} approx 0,64) (giây)
b. Vật ở xa vị trí cân bằng nhất khi và chỉ khi (|d|) nhận giá trị lớn nhất.
Điều đó xảy ra nếu (sin(6t – α) = ± 1). Ta có :
(sin left( {6t – alpha } right) = pm 1 Leftrightarrow cos left( {6t – alpha } right) = 0 Leftrightarrow {alpha over 6} + {pi over {12}} + k{pi over 6})
Ta tìm k nguyên dương sao cho (0 ≤ t ≤ 1)
(eqalign{
& 0 le t le 1 Leftrightarrow 0 le {alpha over 6} + {pi over {12}} + k{pi over 6} le 1 cr
& ,,,,,,,,,,,,,,,,,, Leftrightarrow – {alpha over pi } – {1 over 2} le k le {{6 – alpha } over pi } – {1 over 2} cr} )
Với (α ≈ 0,675), ta thu được (-0,715 < k < 1,2); nghĩa là (k in {rm{{ }}0;1} ). Vậy trong khoảng 1 giây đầu tiên, có hai thời điểm vật ở xa vị trí cân bằng nhất là :
(t = {alpha over 6} + {pi over {12}} approx 0,37,left( {giay} right),va,t = {alpha over 6} + {pi over {12}} + {pi over 6} approx 0,90,left( text{giây} right))
Câu 32 trang 42 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức sau :
a. (asin x + bcos x) (a và b là hằng số, (a^2+ b^2≠ 0)) ;
b. ({sin ^2}x + sin xcos x + 3{cos ^2}x;)
c.(A{sin ^2}x + Bsin xcos x + C{cos ^2}x) (A, B và C là hằng số).
Giải:
a. Ta có:
(eqalign{
& asin x + bcos x = sqrt {{a^2} + {b^2}} left( {{a over {sqrt {{a^2} + {b^2}} }}sin x + {b over {sqrt {{a^2} + {b^2}} }}cos x} right) cr
& ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, = sqrt {{a^2} + {b^2}} left( {sin xcos alpha + sin alpha cos x} right) cr
& ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, = sqrt {{a^2} + {b^2}} sin left( {x + alpha } right) cr
& left( {text{ trong đó},sin alpha = {b over {sqrt {{a^2} + {b^2}} }};,cos alpha = {a over {sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} right) cr} )
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của (asin x + bcos x) lần lượt là :
(sqrt {{a^2} + {b^2}} ,text{ và }, – sqrt {{a^2} + {b^2}} )
b. Ta có :
(eqalign{
& {sin ^2}x + sin xcos x + 3{cos ^2}x = {1 over 2}sin 2x + {{1 – cos 2x} over 2} + 3.{{1 + cos 2x} over 2} cr
& ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, = {1 over 2}sin 2x + cos 2x + 2 cr
& text{ Ta có },left| {{1 over 2}sin 2x + cos 2x} right| le sqrt {{{left( {{1 over 2}} right)}^2} + {1^2}} = {{sqrt 5 } over 2} cr} )
Do đó giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của ({sin ^2}x + sin xcos x + 3{cos ^2}x) lần lượt là :
({{sqrt 5 } over 2} + 2,text{ và }, – {{sqrt 5 } over 2} + 2)
c. Ta có:
(eqalign{
& A{sin ^2}x + Bsin xcos x + C{cos ^2}x cr
& = A.{{1 – cos 2x} over 2} + {B over 2}.sin 2x + C.{{1 + cos 2x} over 2} cr
& = {B over 2}.sin 2x + {{C – A} over 2}cos 2x + {{C + A} over 2} = asin 2x + bcos 2x + c cr
& text{ trong đó},,a = {B over 2},,b = {{C – A} over 2},,c = {{C + A} over 2} cr} )
Vậy (A{sin ^2}x + Bsin xcos x + C{cos ^2}x) đạt giá trị lớn nhất là :
(sqrt {{a^2} + {b^2}} + c = sqrt {{{{B^2} + {{left( {C – A} right)}^2}} over 4}} + {{C + A} over 2} = {1 over 2}sqrt {{B^2} + left( {C – A} right)} + {{C + A} over 2}) và giá trị nhỏ nhất là ( – {1 over 2}sqrt {{B^2} + {{left( {C – A} right)}^2}} + {{C + A} over 2}.)
Câu 33 trang 42 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Giải các phương trình sau :
a. (2{sin ^2}x + 3sqrt 3 sin xcos x – {cos ^2}x = 4)
b. (3{sin ^2}x + 4sin 2x + left( {8sqrt 3 – 9} right){cos ^2}x = 0)
c. ({sin ^2}x + sin 2x – 2{cos ^2}x = {1 over 2})
Giải
a. (cos x = 0) không thỏa mãn phương trình.
Chia hai vế phương trình cho ({cos ^2}x ne 0) ta được :
(eqalign{
& 2{tan ^2}x + 3sqrt 3 tan x – 1 = 4left( {1 + {{tan }^2}x} right) cr
& Leftrightarrow 2{tan ^2}x – 3sqrt 3 tan x + 5 = 0 cr} )
Phương trình vô nghiệm nên phương trình đã cho vô nghiệm.
b. Các giá trị của (x) mà (cos x = 0) không là nghiệm phương trình.
Chia hai vế phương trình cho ({cos ^2}x) ta được :
(eqalign{& 3{tan ^2}x + 8tan x + 8sqrt 3 – 9 = 0 Leftrightarrow left[ {matrix{{tan x = – sqrt 3 } cr
{tan x = – {8 over 3} + sqrt 3 } cr} } right. cr & ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,;;;;;;;;;;;, Leftrightarrow left[ {matrix{{x = {pi over 3} + kpi } cr {x = alpha + kpi } cr} } right.,,k inmathbb Z cr & ,,,,;;;;;;;;;;;;;;;text{ trong đó},tan alpha = – {8 over 3} + sqrt 3 cr} )
c. Các giá trị của (x) mà (cos x = 0) không là nghiệm phương trình.
Chia hai vế phương trình cho ({cos ^2}x) ta được :
(eqalign{& {tan ^2}x + 2tan x – 2 = {1 over 2}left( {1 + {{tan }^2}x} right) cr & Leftrightarrow {tan ^2}x + 4tan x – 5 = 0 Leftrightarrow left[ {matrix{{tan x = 1} cr {tan x = – 5} cr} } right. Leftrightarrow left[ {matrix{{x = {pi over 4} + kpi } cr {x = alpha + kpi } cr} } right.,,,k in mathbb Z cr & text{ trong đó},tan alpha = – 5 cr} )
Câu 34 trang 42 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích hoặc tích thành tổng để giải các phương trình sau :
a. (cos xcos 5x = cos 2xcos 4x) ;
b. (cos 5xsin 4x=cos 3xsin 2x) ;
c. (sin 2x + sin 4x = sin 6x) ;
d. (sin x + sin 2x = cos x + cos 2x)
Giải
a. Ta có:
(eqalign{& cos xcos 5x = cos 2xcos 4x cr & Leftrightarrow {1 over 2}left( {cos 6x + cos 4x} right) = {1 over 2}left( {cos 6x + cos 2x} right) Leftrightarrow cos 4x = cos 2x cr & Leftrightarrow left[ {matrix{{4x = 2x + k2pi } cr {4x = – 2x + k2pi } cr} } right. Leftrightarrow left[ {matrix{{x = kpi } cr {x = k{pi over 3}} cr} } right. Leftrightarrow x = k{pi over 3} ,,(kinmathbb Z)cr} )
b.
(eqalign{& cos 5xsin 4x = cos 3xsin 2x Leftrightarrow {1 over 2}left( {sin 9x – sin x} right) = {1 over 2}left( {sin 5x – sin x} right) cr & Leftrightarrow sin 9x = sin 5x Leftrightarrow left[ {matrix{{9x = 5x + k2pi } cr {9x = pi – 5x + k2pi } cr} } right. Leftrightarrow left[ {matrix{{x = k{pi over 2}} cr {x = {pi over {14}} + k{pi over 7}} cr} } ,,(kinmathbb Z) right. cr} )
c.
(eqalign{& sin 2x + sin 4x = sin 6x Leftrightarrow 2sin 3xcos x = 2sin 3xcos 3x cr & Leftrightarrow sin 3xleft( {cos x – cos 3x} right) = 0 Leftrightarrow left[ {matrix{{sin 3x = 0} cr {cos x = cos 3x} cr} } right. Leftrightarrow left[ {matrix{{x = k{pi over 3}} cr {x = kpi } cr {x = k{pi over 2}} cr} } right. Leftrightarrow left[ {matrix{{x = k{pi over 3}} cr {x = k{pi over 2}} cr} } ,,(kinmathbb Z)right. cr} )
d.
(eqalign{& sin x + sin 2x = cos x + cos 2x Leftrightarrow 2sin {{3x} over 2}cos {x over 2} = 2cos {{3x} over 2}cos {x over 2} cr & Leftrightarrow cos {x over 2}left( {sin {{3x} over 2} – cos {{3x} over 2}} right) = 0 Leftrightarrow left[ {matrix{{cos {x over 2} = 0} cr {sin {{3x} over 2} = cos {{3x} over 2}} cr} } right. cr & Leftrightarrow left[ {matrix{{{x over 2} = {pi over 2} + kpi } cr {tan {{3x} over 2} = 1} cr} } right. Leftrightarrow left[ {matrix{{x = pi + k2pi } cr {x = {pi over 6} + k{{2pi } over 3}} cr} } right.left( {k inmathbb Z} right) cr} )
Câu 35 trang 42 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Dùng công thức hạ bậc để giải các phương trình sau :
a. ({sin ^2}4x + {sin ^2}3x = {sin ^2}2x + {sin ^2}x)
b. ({cos ^2}x + {cos ^2}2x + {cos ^2}3x + {cos ^2}4x = 2)
Giải
a.
(eqalign{& {sin ^2}4x + {sin ^2}3x = {sin ^2}2x + {sin ^2}x cr & Leftrightarrow {1 over 2}left( {1 – cos 8x} right) + {1 over 2}left( {1 – cos 6x} right) = {1 over 2}left( {1 – cos 4x} right) + {1 over2}left( {1 – cos 2x} right) cr & Leftrightarrow cos 8x + cos 6x = cos 4x + cos 2x cr & Leftrightarrow cos 7xcos x = cos 3xcos x cr & Leftrightarrow cos xleft( {cos 7x – cos 3x} right) = 0 cr & Leftrightarrow left[ {matrix{{cos x = 0} cr {cos 7x = cos 3x} cr} } right. Leftrightarrow left[ {matrix{{x = {pi over 2} + kpi } cr {x = k{pi over 2}} cr {x = k{pi over 5}} cr} } right. Leftrightarrow left[ {matrix{{x = k{pi over 2}} cr {x = k{pi over 5}} cr} } right.,,,k inmathbb Z cr} )
b. Ta có:
(eqalign{& {cos ^2}x + {cos ^2}2x + {cos ^2}3x + {cos ^2}4x = 2 cr & Leftrightarrow {{1 + cos 2x} over 2} + {{1 + cos 4x} over 2} + {{1 + cos 6x} over 2} + {{1 + cos 8x} over 2} = 2 cr & Leftrightarrow left( {cos 2x + cos 4x} right) + left( {cos 6x + cos 8x} right) = 0 cr & Leftrightarrow 2cos 3xcos x + 2cos 7xcos x = 0 cr & Leftrightarrow cos xleft( {cos 3x + cos 7x} right) = 0 cr & Leftrightarrow 2cos xcos 5xcos 2x = 0 Leftrightarrow left[ {matrix{{cos x = 0} cr {cos 2x = 0} cr {cos 5x = 0} cr} } right. Leftrightarrow left[ {matrix{{x = {pi over 2} + kpi } cr {x = {pi over 4} + k{pi over 2}} cr {x = {pi over {10}} + k{pi over 5}} cr} } right.,,left( {k inmathbb Z} right) cr} )
Câu 36 trang 42 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Giải các phương trình sau :
a. (tan {x over 2} = tan x)
b. (tan left( {2x + 10^circ } right) + cot x = 0)
c. (left( {1 – tan x} right)left( {1 + sin 2x} right) = 1 + tan x)
d. (tan x + tan 2x = sin 3xcos x)
e. (tan x + cot 2x = 2cot 4x)
Giải
a. ĐKXĐ: (left{ {matrix{{cos {x over 2} ne 0} cr {cos x ne 0} cr} } right.)
Ta có:(tan {x over 2} = tan x Leftrightarrow x = {x over 2} + kpi Leftrightarrow x = k2pi ,) (nhận)
b. ĐKXĐ: (left{ {matrix{{cos left( {2x + 10^circ } right) ne 0} cr {sin x ne 0} cr} } right.)
Ta có:
(eqalign{
& tan left( {2x + 10^circ } right) + cot x = 0 Leftrightarrow tan left( {2x + 10^circ } right) = tan left( {90^circ + x} right) cr
& Leftrightarrow 2x + 10^circ = 90^circ + x + k180^circ Leftrightarrow x = 80^circ + k180^circ cr} )
Hiển nhiên (x = 80^0 + k180^0) thỏa mãn ĐKXĐ.
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là (x = 80^0 + k180^0)
c. Đặt (t = tan x), với điều kiện (cos x ≠ 0).
Ta có: (sin 2x = {{2tan x} over {1 + {{tan }^2}x}} = {{2t} over {1 + {t^2}}})
Do đó : (1 + sin 2x = 1 + {{2t} over {1 + {t^2}}} = {{{{left( {1 + t} right)}^2}} over {1 + {t^2}}})
Vậy ta có phương trình:
(eqalign{& left( {1 – t} right){{{{left( {1 + t} right)}^2}} over {1 + {t^2}}} = 1 + t cr & Leftrightarrow left( {1 – t} right){left( {1 + t} right)^2} = left( {1 + t} right)left( {1 + {t^2}} right)Leftrightarrow 2{t^2}left( {1 + t} right) = 0 cr & Leftrightarrow left[ {matrix{{t = 0} cr {t = – 1} cr} } right. Leftrightarrow left[ {matrix{{tan x = 0} cr {tan x = – 1} cr} } right. Leftrightarrow left[ {matrix{{x = kpi } cr {x = – {pi over 4} + kpi } cr} } right. cr} )
d. ĐKXĐ :(cos x ne 0,text{ và },cos 2x ne 0.) Với điều kiện đó, ta có :
(eqalign{& tan x + tan 2x = sin 3xcos x cr & Leftrightarrow {{sin 3x} over {cos xcos 2x}} = sin 3xcos x cr & Leftrightarrow sin 3xleft( {{1 over {cos xcos 2x}} – cos x} right) = 0 cr & Leftrightarrow left[ {matrix{{sin 3x = 0} cr {{1 over {cos xcos 2x}} = cos x} cr} } right. cr & .sin 3x = 0 Leftrightarrow x = k{pi over 3} cr & .{1 over {cos xcos 2x}} = cos x Leftrightarrow {cos ^2}xcos 2x = 1 Leftrightarrow left( {1 + cos 2x} right)cos 2x = 2 cr & Leftrightarrow {cos ^2}2x + cos 2x – 2 = 0 cr & Leftrightarrow cos 2x = 1 Leftrightarrow x = kpi cr} )
Vậy phương trình có nghiệm (x = k{pi over 3}left( {k in mathbb Z} right))
e. ĐKXĐ :(cos x ne 0,sin 2x ne 0,va,sin 4x ne 0.) Tuy nhiên chỉ cần (sin 4x ≠ 0) là đủ (vì (sin 4x = 2sin2xcos2x = 4sin xcos xcos2x)). Với điều kiện đó ta có :
(eqalign{& tan x + cot 2x = 2cot 4x cr & Leftrightarrow {{sin x} over {cos x}} + {{cos 2x} over {sin 2x}} = {{2cos 4x} over {sin 4x}} cr & Leftrightarrow {{sin xsin 2x + cos xcos 2x} over {cos xsin 2x}} = {{2cos 4x} over {2sin 2xcos 2x}} cr & Leftrightarrow {{cos left( {2x – x} right)} over {cos x}} = {{cos 4x} over {cos 2x}} cr & Leftrightarrow cos 4x = cos 2x cr & Leftrightarrow 4x = pm 2x + k2pi Leftrightarrow left[ {matrix{{x = kpi } cr {x = k{pi over 3}} cr} } right. Leftrightarrow x = k{pi over 3} cr} )
Để là nghiệm, các giá trị này còn phải thỏa mãn điều kiện (sin4x ≠ 0).
Ta có:
– Nếu (k) chia hết cho 3, tức là (k = 3m) ((minmathbb Z)) thì :
– Nếu (k) không chia hết cho 3, tức là (k = 3m ± 1) ((minmathbb Z)) thì :
(sin 4x = sin left( { pm {{4pi } over 3} + 4mpi } right) = pm sin {pi over 3} = pm {{sqrt 3 } over 2} ne 0)
Vậy nghiệm của phương trình là (x = k{pi over 3}) với (k) nguyên và không chia hết cho 3.
Câu 37 trang 46 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Mùa xuân ở Hội Lim (tỉnh Bắc Ninh) thường có trò chơi đu. Khi người chơi đu nhún đều, cây đu sẽ đưa người chơi đu dao động qua lại vị trí cân bằng. Nghiên cứu trò chơi này, người ta thấy khoảng cách h (tính bằng mét) từ người chơi đu đến vị trí cân bằng (h. 1.32) được biểu diễn qua thời gian t (t ≥ 0 và được tính bằng giây) bởi hệ thức (h = |d|) với (d = 3cos left[ {{pi over 3}left( {2t – 1} right)} right]) , trong đó ta quy ước rằng (d > 0) khi vị trí cân bằng ở về phía sau lưng người chơi đu và (d < 0) trong trường hợp trái lại.
a. Tìm các thời điểm trong vòng 2 giây đầu tiên mà người chơi đu ở xa vị trí cân bằng nhất.
b. Tìm các thời điểm trong vòng 2 giây đầu tiên mà người chơi đu cách vị trí cân bằng 2 mét (tính chính xác đến
({1 over {100}}) giây).
Giải
a. Người chơi đu ở xa vị trí cân bằng nhất khi (cos left[ {{pi over 3}left( {2t – 1} right)} right] = pm 1)
Ta có:
(eqalign{
& cos left[ {{pi over 3}left( {2t – 1} right)} right] = pm 1 Leftrightarrow sin left[ {{pi over 3}left( {2t – 1} right)} right] = 0 cr
& Leftrightarrow {pi over 3}left( {2t – 1} right) = kpi Leftrightarrow t = {1 over 2}left( {3k + 1} right) cr} )
Ta cần tìm k nguyên để (0 ≤ t ≤ 2)
(0 le t le 2 Leftrightarrow 0 le {1 over 2}left( {3k + 1} right) le 2 Leftrightarrow – {1 over 3} le k le 1 Leftrightarrow k in left{ {0;1} right})
Với (k = 0) thì (t = {1 over 2}.) Với (k = 1) thì (t = 2). Vậy trong 2 giây đầu tiên, người chơi đu ở xa vị trí cân bằng nhất vào các thời điểm ({1 over 2}) giây và 2 giây.
b. Người chơi đu cách vị trí cân bằng 2 mét khi (3cos left[ {{pi over 3}left( {2t – 1} right)} right] = pm 2)
Ta có:
(eqalign{
& 3cos left[ {{pi over 3}left( {2t – 1} right)} right] = pm 2 cr
& Leftrightarrow {cos ^2}left[ {{pi over 3}left( {2t – 1} right)} right] = {4 over 9} cr
& Leftrightarrow 1 + cos left[ {{{2pi } over 3}left( {2t – 1} right)} right] = {9 over 8} cr
& Leftrightarrow cos left[ {{{2pi } over 3}left( {2t – 1} right)} right] = – {1 over 9} cr
& Leftrightarrow {{2pi } over 3}left( {2t – 1} right) = pm alpha + k2pi cr
& Leftrightarrow t = pm {{3alpha } over {4pi }} + {1 over 2} + {{3k} over 2},left( {voi,cos alpha = – {1 over 9}} right) cr} )
Ta tìm k nguyên để (0 ≤ t ≤ 2)
– Với (t = {{3alpha } over {4pi }} + {1 over 2} + {{3k} over 2},) ta có :
(0 le t le 2 Leftrightarrow – {1 over 3} – {alpha over {2pi }} le k le 1 – {alpha over {2pi }})
Với (cos alpha = – {1 over 9}) ta chọn (α ≈ 1,682)
Khi đó (– 0,601 < k < 0,732) suy ra (k = 0) và (t ≈ 0,90)
– Với (t = – {{3alpha } over {4pi }} + {1 over 2} + {{3k} over 2},) ta có :
(0 le t le 2 Leftrightarrow – {1 over 3} + {alpha over {2pi }} le k le 1 + {alpha over {2pi }})
Vì (α ≈ 1,682) nên (– 0,066 < k < 1,267), suy ra (k in {rm{{ }}0;1} )
Với (k = 0), ta có (t ≈ 0,10); với (k = 1), ta có (t ≈ 1,60)
Kết luận : Trong khoảng 2 giây đầu tiên, có ba thời điểm mà người chơi đu cách vị trí cân bằng 2 mét, đó là (t ≈ 0,10) giây; (t ≈ 0,90) giây và (t ≈ 1,60) giây.
Câu 38 trang 46 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Giải các phương trình sau :
a. ({cos ^2}x – 3{sin ^2}x = 0)
b. ({left( {tan x + cot x} right)^2} – left( {tan x + cot x} right) = 2)
c. (sin x + {sin ^2}{x over 2} = 0,5)
Giải
a.
(eqalign{
& {cos ^2}x – 3{sin ^2}x = 0 cr
& Leftrightarrow {{1 + cos 2x} over 2} – {{3left( {1 – cos 2x} right)} over 2} = 0 cr
& Leftrightarrow cos 2x = {1 over 2} Leftrightarrow 2x = pm {pi over 3} + k2pi cr
& Leftrightarrow x = pm {pi over 6} + kpi cr} )
b. Đặt (t = tan x + cot x) với điều kiện (|t| = |tan x| + |cot x| ≥ 2) (BĐT Cosi)
Ta có:
(eqalign{& {t^2} – t = 2 Leftrightarrow {t^2} – t – 2 = 0 Leftrightarrow left[ {matrix{{t = – 1,left( text{loại} right)} cr {t = 2} cr} } right. cr & t = 2 Leftrightarrow tan x + cot x = 2 Leftrightarrow tan x = {1 over {tan x}} = 2 cr & Leftrightarrow {tan ^2}x – 2tan x + 1 = 0 cr & Leftrightarrow tan x = 1 Leftrightarrow x = {pi over 4} + kpi cr} )
c.
(eqalign{
& sin x + {sin ^2}{x over 2} = 0,5 cr
& Leftrightarrow sin x + {{1 – cos x} over 2} = {1 over 2} Leftrightarrow sin x = {1 over 2}cos x cr
& Leftrightarrow tan x = {1 over 2} Leftrightarrow x = alpha + kpi ,text{ trong đó },tan alpha = {1 over 2} cr} )
Câu 39 trang 46 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Chứng minh rằng các phương trình sau đây vô nghiệm :
a. (sin x – 2cos x = 3)
b. (5sin2x + sin x + cos x + 6 = 0)
Hướng dẫn b. Đặt (sin x + cos x = t)
Giải
a.
(sin x – 2cos x = 3 Leftrightarrow {1 over {sqrt 5 }}sin x – {2 over {sqrt 5 }}cos x = {3 over {sqrt 5 }} Leftrightarrow sin left( {x – alpha } right) = {3 over {sqrt 5 }}) trong đó (α) là số thỏa mãn (cos alpha = {1 over {sqrt 5 }},text{ và },sin alpha = {2 over {sqrt 5 }}.) Phương trình cuối cùng vô nghiệm do ({3 over {sqrt 5 }} > 1,) nên phương trình đã cho vô nghiệm.
b. Trong phương trình (5sin 2x + sin x + cos x + 6 = 0), ta đặt (t = sin x + cos x) với điều kiện (left| t right| le sqrt 2 ) thì được phương trình (5{t^2} + t + 1 = 0.) Phương trình này vô nghiệm nên phương trình đã cho vô nghiệm.
Câu 40 trang 46 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Tìm các nghiệm của mỗi phương trình sau trong khoảng đã cho (khi cần tính gần đúng thì tính chính xác đến ({1 over {10}}) giây)
a. (2{sin ^2}x – 3cos x = 2,0^circ le x le 360^circ )
b. (tan x + 2cot x = 3,180^circ le x le 360^circ )
Giải
a.
(eqalign{
& 2{sin ^2}x – 3cos x = 2 Leftrightarrow 2{cos ^2}x + 3cos x = 0 cr
& Leftrightarrow cos x = 0,left( {text{ loại },cos x = – {3 over 2}} right) cr
& Leftrightarrow x = 90^circ + k180^circ ,,k in mathbb Z cr} )
Vậy với điều kiện (0^0≤ x ≤ 360^0), phương trình có hai nghiệm là (x = 90^0) và (x = 270^0).
b. ĐKXĐ : (sin x ≠ 0) và (cos x ≠ 0). Ta có :
(tan x + 2cot x = 3 Leftrightarrow {tan ^2}x – 3tan x + 2 = 0 Leftrightarrow left[ {matrix{{tan x = 1} cr {tan x = 2} cr} } right.)
+) ( tan x = 1 ⇔ x = 45^0 + k180^0). Có một nghiệm thỏa mãn (180^0le {rm{ }}x{rm{ }} le {rm{ }}360^0), ứng với (k = 1) là (x = 225^0)
+) ( tan x = 2 ⇔ x = α + k180^0) với (tan α = 2). Ta có thể chọn (alpha approx {63^0}265,8)
Vậy có một nghiệm (gần đúng) thỏa mãn (180^0le {rm{ }}x{rm{ }} le {rm{ }}360^0) là :
(x = alpha + {180^0} approx {243^0}265,8)
Kết luận : Với điều kiện (180^0le {rm{ }}x{rm{ }} le {rm{ }}360^0), phương trình có hai nghiệm (x = 225^0) và (x approx {243^0}265,8).
Câu 41 trang 47 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Giải các phương trình sau :
a. (3{sin ^2}x – sin 2x – {cos ^2}x = 0)
b. (3{sin ^2}2x – sin 2xcos 2x – 4{cos ^2}2x = 2)
c. (2{sin ^2}x + left( {3 + sqrt 3 } right)sin xcos x + left( {sqrt 3 – 1} right){cos ^2}x = – 1)
Giải
a. Cách 1 : (chia hai vế cho ({cos ^2}x)). Chú ý rằng những giá trị của x mà (cos x = 0) không là nghiệm của phương trình. Do đó :
(eqalign{& 3{sin ^2}x – sin 2x – {cos ^2}x = 0 cr & Leftrightarrow 3{tan ^2}x – 2tan x – 1 = 0 Leftrightarrow left[ {matrix{{tan x = 1} cr {tan x = – {1 over 3}} cr} } right. cr} )
Từ đó suy ra các nghiệm của phương trình là :
(x = {pi over 4} + kpi ,va,x = alpha + kpi ,text{ trong đó },tan alpha = – {1 over 3})
Cách 2 : (dùng công thức hạ bậc)
(eqalign{& 3{sin ^2}x – sin 2x – {cos ^2}x = 0 cr & Leftrightarrow {{3left( {1 – cos 2x} right)} over 2} – sin 2x – {{1 + cos 2x} over 2} = 0 cr & Leftrightarrow – 2sin 2x – 4cos 2x + 2 = 0 cr & Leftrightarrow sin 2x + 2cos 2x = 1 cr & Leftrightarrow {1 over {sqrt 5 }}sin 2x + {2 over {sqrt 5 }}cos 2x = {1 over {sqrt 5 }} cr & Leftrightarrow cos left( {2x – alpha } right) = cos left( {{pi over 2} – alpha } right) cr & text{ trong đó },alpha ,text{ là số thỏa mãn },sin alpha = {1 over {sqrt 5 }},text{ và },cos alpha = {2 over {sqrt 5 }}.text{ Ta có },: cr & cos left( {2x – alpha } right) = cos left( {{pi over 2} – alpha } right) cr & Leftrightarrow 2x – alpha = pm left( {{pi over 2} – alpha } right) + k2pi cr
& Leftrightarrow left[ {matrix{{x = {pi over 4} + kpi } cr {x = alpha – {pi over 4} + kpi } cr} } right.left( {k in mathbb Z} right) cr} )
b. Những giá trị của x mà (cos2x = 0) không là nghiệm phương trình. Chia hai vế phương trình cho ({cos ^2}2x) ta được :
(eqalign{& 3{tan ^2}2x – tan 2x – 4 = 2left( {1 + {{tan }^2}2x} right) cr & Leftrightarrow {tan ^2}2x – tan 2x – 6 = 0 Leftrightarrow left[ {matrix{{tan 2x = – 2} cr {tan 2x = 3} cr} } right. cr & Leftrightarrow left[ {matrix{{x = {alpha over 2} + k{pi over 2}} cr {x = {beta over 2} + k{pi over 2}} cr} } right.,text{ trong đó },tan 2alpha = – 2,text{ và },tan 2beta = 3 cr} )
c. Với giá trị (x) mà (cos x = 0) không là nghiệm phương trình chia hai vế phương trình cho ({cos ^2}x) ta được :
(eqalign{& 2{tan ^2}x + left( {3 + sqrt 3 } right)tan x + sqrt 3 – 1 = – left( {1 + {{tan }^2}x} right) cr & Leftrightarrow 3{tan ^2}x + left( {3 + sqrt 3 } right)tan x + sqrt 3 = 0 cr & Leftrightarrow left[ {matrix{{tan x = – 1} cr {tan x = – {{sqrt 3 } over 3}} cr} } right. Leftrightarrow left[ {matrix{{x = – {pi over 4} + kpi } cr {x = – {pi over 6} + kpi } cr} } right.,left( {k inmathbb Z} right) cr} )
Câu 42 trang 47 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Giải các phương trình sau :
a. (sin x + sin 2x + sin 3x = cos x + cos 2x + cos 3x)
b. (sin x = sqrt 2 sin 5x – cos x)
c. ({1 over {sin 2x}} + {1 over {cos 2x}} = {2 over {sin 4x}})
d. (sin x + cos x = {{cos 2x} over {1 – sin 2x}})
Giải
a. Ta có:
(eqalign{& sin x + sin 2x + sin 3x = cos x + cos 2x + cos 3x cr & Leftrightarrow left( {sin x + sin 3x} right) + sin 2x = left( {cos x + cos 3x} right) + cos 2x cr & Leftrightarrow 2sin 2xcos x + sin 2x = 2cos 2xcos x + cos 2x cr & Leftrightarrow sin 2xleft( {2cos x + 1} right) – cos 2xleft( {2cos x + 1} right) = 0 cr & Leftrightarrow left( {2cos x + 1} right)left( {sin 2x – cos 2x} right) = 0 cr & Leftrightarrow left[ {matrix{{2cos x + 1 = 0} cr {sin 2x – cos 2x = 0} cr} } right. Leftrightarrow left[ {matrix{{cos x = – {1 over 2}} cr {tan 2x = 1} cr} } right. cr & Leftrightarrow left[ {matrix{{x = pm {{2pi } over 3} + k2pi } cr {x = {pi over 8} + k{pi over 2}} cr} } right.,k inmathbb Z cr} )
b.
(eqalign{& sin x = sqrt 2 sin 5x – cos x cr & Leftrightarrow = {1 over {sqrt 2 }}sin x + {1 over {sqrt 2 }}cos x = sin 5x cr & Leftrightarrow sin left( {x + {pi over 4}} right) = sin 5x Leftrightarrow left[ {matrix{{5x = x + {pi over 4} + k2pi } cr {5x = {{3pi } over 4} – x + k2pi } cr} } right. cr & Leftrightarrow left[ {matrix{{x = {pi over {16}} + k{pi over 2}} cr {x = {pi over 8} + k{pi over 3}} cr} ,k inmathbb Z} right. cr} )
c. ĐKXĐ : (sin4x ≠ 0) (điều kiện này đã bao gồm (sin 2x ≠ 0) và (cos2x ≠ 0)).
Với điều kiện đó, ta có thể nhân hai vế của phương trình với (sin4x) :
(eqalign{& {1 over {sin 2x}} + {1 over {cos 2x}} = {2 over {sin 4x}} cr & Leftrightarrow {1 over {sin 2x}} + {1 over {cos 2x}} = {1 over {sin 2xcos 2x}} cr & Leftrightarrow sin 2x + cos 2x = 1 Leftrightarrow sin left( {2x + {pi over 4}} right) = sin {pi over 4} cr & Leftrightarrow left[ {matrix{{2x = k2pi } cr {2x = {pi over 2} + k2pi } cr} } right. cr} )
Ta thấy : Nếu (2x = k2π) thì (sin2x = 0); nếu (2x = {pi over 2} + k2pi ) thì (cos2x = 0), nên các giá trị đó của (x) đều không thỏa mãn ĐKXĐ. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
d. ĐKXĐ : (sin2x ≠ 1). Với điều kiện đó, ta có:
(eqalign{& sin x + cos x = {{cos 2x} over {1 – sin 2x}} cr & Leftrightarrow sin x + cos x = {{{{cos }^2}x – {{sin }^2}x} over {{{left( {cos x – sin x} right)}^2}}} cr & Leftrightarrow left( {sin x + cos x} right)left( {1 – {1 over {cos x – sin x}}} right) = 0 cr & +),,sin x + cos x = 0 Leftrightarrow x = – {pi over 4} + kpi cr & +),,{1 over {cos x – sin x}} = 1 Leftrightarrow cos x – sin x = 1 cr & Leftrightarrow cos left( {x + {pi over 4}} right) = {1 over {sqrt 2 }} Leftrightarrow left[ {matrix{{x = k2pi ,left( text{nhận} right)} cr {x = – {pi over 2} + k2pi ,left( text{nhận}right)} cr} } right. cr} )
Giaibaitap.me