Bài 4 trang 8 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Với các giá trị nào của a hàm số (y = ax – {x^3}) nghịch biến trên (mathbb R)
Giải
Tập xác định (D=mathbb R)
(y’ = a – 3{x^2})
• Nếu (a < 0) thì (y’ < 0) với mọi (x in {mathbb R}), khi đó hàm số nghịch biến trên (mathbb R).
• Nếu (a = 0) thì (y’ = – 3{x^2} le 0) với mọi (x in {mathbb R}), (y’=0Leftrightarrow x=0).
Vậy hàm số nghịch biến trên (mathbb R).
• Nếu (a > 0) thì (y’ = 0) ( Leftrightarrow x = pm {sqrt {a over 3}})
Ta có bảng biến thiên
Trong trường hợp này, hàm số không đồng biến trên ({mathbb R})
Vậy hàm số nghịch biến trên ({mathbb R}) khi và chỉ khi (a le 0).
Bài 5 trang 8 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Tìm các giá trị của tham số (a) để hàm số (fleft( x right) = {1 over 3}{x^3} + a{x^2} + 4x + 3) đồng biến trên (mathbb R).
Giải
Tập xác định (D = mathbb R)
(f’left( x right) = {x^2} + 2ax + 4);
(Delta = {a^2} – 4)
Hàm số đồng biến trên (mathbb R) khi và chỉ khi (f’left( x right) ge 0,,forall x inmathbb R)
( Leftrightarrow left{ matrix{
1 > 0 hfill cr
Delta ‘ le 0 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{
1 > 0 hfill cr
{a^2} – 4 le 0 hfill cr} right. Leftrightarrow – 2 le a le 2)
Vậy ( – 2 le a le 2) thỏa mãn yêu cầu của bài toán
Bài 6 trang 8 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
a) (y = {1 over 3}{x^3} – 2{x^2} + 4x – 5)
b) (y = – {4 over 3}{x^3} + 6{x^2} – 9x – {2 over 3})
c) (y = {{{x^2} – 8x + 9} over {x – 5}})
d) (y = sqrt {2x – {x^2}} )
e) (y = sqrt {{x^2} – 2x + 3} )
f) (y = {1 over {x + 1}} – 2x)
Giải
a) TXĐ: (D=mathbb R)
(y’ = {x^2} – 4x + 4 = {left( {x – 2} right)^2} ge 0), (forall x in mathbb R) dấu bằng chỉ xảy ra khi (x=2)
Vậy hàm số đồng biến trên (mathbb R).
b) TXĐ: (D=mathbb R)
(y’ = – 4{x^2} + 12x – 9 = – left( {4{x^2} – 12x + 9} right))
(= – {left( {2x – 3} right)^2} le 0,forall x in mathbb R) dấu bằng chỉ xảy ra khi (x = {3 over 2}). Vậy hàm số nghịch biến trên (mathbb R).
c) TXĐ: (D = mathbb Rbackslash left{ 5 right})
(y’ = {{left( {2x – 8} right)left( {x – 5} right) – left( {{x^2} – 8x + 9} right)} over {{{left( {x – 5} right)}^2}}} = {{{x^2} – 10x + 31} over {{{left( {x – 5} right)}^2}}} > 0) với mọi (x ne 5)
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (left( { – infty ;5} right)) và (left( {5; + infty } right)).
d) Hàm số xác định khi và chỉ khi (2x – {x^2} ge 0 Leftrightarrow 0 le x le 2). TXĐ: (D = left[ {0;2} right])
(y’ = {{2 – 2x} over {2sqrt {2x – {x^2}} }} = {{1 – x} over {sqrt {2x – {x^2}} }};y’ = 0 Leftrightarrow x = 1,,,,left( {y = 1} right))
Hàm số đồng biến trên khoảng (left( {0;1} right)) và nghịch biến trên khoảng (left( {1;2} right)).
e) TXĐ: (D = mathbb R) (vì ({x^2} – 2x + 3 > 0,forall x in mathbb R))
(y’ = {{2x – 2} over {2sqrt {{x^2} – 2x + 3} }} = {{x – 1} over {sqrt {{x^2} – 2x + 3} }});
(y’ = 0 Leftrightarrow x = 1,,,(y = sqrt 2 ))
Bảng biến thiên
Hàm số nghịch biến trên khoảng (left( { – infty ;1} right)) và đồng biến trên khoảng (left( {1; + infty } right)).
f) TXĐ: (D =mathbb R backslash left{ { – 1} right})
(y’ = – {1 over {{{left( {x + 1} right)}^2}}} – 2 < 0,,,forall x ne – 1)
Hàm số nghịch biến trên khoảng (left( { – infty ; – 1} right)) và đồng biến trên khoảng (left( { – 1; + infty } right)) .
Bài 7 trang 8 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Chứng minh rằng hàm số: (fleft( x right) = cos 2x – 2x + 3) nghịch biến trên (mathbb R)
Giải
TXĐ: (D=mathbb R)
(f’left( x right) = – 2sin 2x – 2 le 0)
(Leftrightarrow – 2left( {sin 2x + 1} right) le 0,forall x in mathbb R)
(f’left( x right) = 0 Leftrightarrow sin 2x = – 1 )
(Leftrightarrow 2x = – {pi over 2} + k2pi ,k in mathbb ZLeftrightarrow x = – {pi over 4} + kpi ,k in mathbb Z)
Hàm số nghịch biến trên mỗi đoạn (left[ { – {pi over 4} + kpi ; – {pi over 4} + kpi + pi } right])
Do đó hàm số nghịch biến trên mỗi (mathbb R)
Giaibaitap.me