Bài 1 trang 9 sách sgk giải tích 12
Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
a) (y = 4 + 3x – x^2) ; b) (y ={1 over 3}x^3) + (3x^2-7x – 2) ;
c) (y = x^4) – (2x^2) +( 3) ; d) (y = -x^3)+ (x^2) – (5).
Giải:
1. a) Tập xác định : (D =mathbb R);
(y’ = 3 – 2x => y’ = 0 ⇔ x =) ({3 over 2}).
Bảng biến thiên :
Hàm số đồng biến trên khoảng (left( { – infty ;{3 over 2}} right)); nghịch biến trên khoảng (left( { {3 over 2}};+infty right))
b) Tập xác định (D=mathbb R);
(y’= x^2)+ (6x – 7 Rightarrow y’ = 0 ⇔ x = 1, x = -7).
Bảng biến thiên :
Hàm số đồng biến trên các khoảng ((-∞ ; -7), (1 ; +∞)) ; nghịch biến trên các khoảng ((-7 ; 1)).
c) Tập xác định : (D=mathbb R).
(y’ = 4x^3)-(4x = 4x(x^2-1)) (Rightarrow y’ = 0 ⇔ x = -1, x = 0, x = 1).
Bảng biến thiên :
Hàm số đồng biến trên các khoảng ((-1 ; 0), (1 ; +∞)) ; nghịch biến trên các khoảng ((-∞ ; -1), (0 ; 1)).
d) Tập xác định 🙁 D=mathbb R).
(y’ = -3x^2) +( 2x Rightarrow y’ = 0 ⇔ x = 0, x =) ({2 over 3}).
Bảng biến thiên :
Hàm số đồng biến trên khoảng (( 0 ; {2 over 3} )) ; nghịch biến trên các khoảng ((-∞ ; 0)), (({2 over 3}; +∞)).
Bài 2 trang 10 sách sgk giải tích 12
Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:
a) (y=frac{3x+1}{1-x}) ; b) (y=frac{x^{2}-2x}{1-x}) ;
c) (y=sqrt{x^{2}-x-20}) ; d) (y=frac{2x}{x^{2}-9}).
Giải
a) Tập xác định : (D =mathbb R setminus){ 1 }.
(y’=frac{4}{(1-x)^{2}})> 0, (∀x neq 1).
Hàm số đồng biến trên các khoảng : ((-∞ ; 1), (1 ; +∞)).
b) Tập xác định : (D =mathbb Rsetminus){ 1 }.
(y’=frac{-x^{2}+2x-2}{(1-x)^{2}}< 0), (∀x neq 1).
Hàm số nghịch biến trên các khoảng: ( (-∞ ; 1), (1 ; +∞)).
c) Tập xác định 🙁 D = (-∞ ; -4] ∪ [5 ; +∞)).
(y’=frac{2x-1}{2sqrt{x^{2}-x-20}}) (∀x ∈ (-∞ ; -4] ∪ [5 ; +∞)).
Với (x ∈ (-∞ ; -4)) thì (y’ < 0); với (x ∈ (5 ; +∞)) thì (y’ > 0). Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng ((-∞ ; -4)) và đồng biến trên khoảng ((5 ; +∞)).
d) Tập xác định : (D =mathbb Rsetminus ){ -3 ; 3 }.
(y’=frac{-2(x^{2}+9)}{left (x^{2}-9 right )^{2}} < 0, ∀x neq ±3).
Hàm số nghịch biến trên các khoảng : ((-∞ ; -3), (-3 ; 3), (3 ; +∞)).
Bài 3 trang 10 sách sgk giải tích 12
Chứng minh rằng hàm số (y={{1 – {x^2}} over {{{({x^2} + 1)}^2}}}) đồng biến trên khoảng ((-1 ; 1)) và nghịch biến trên các khoảng (( – infty ; – 1)) và ((1 ; +∞)).
Giải:
Tập xác định : (D=mathbb R).
(y’ = {{1 – {x^2}} over {{{({x^2} + 1)}^2}}}) (Rightarrow y’ = 0 ⇔ x=-1) hoặc (x=1).
Bảng biến thiên :
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ((-1 ; 1)); nghịch biến trên các khoảng ((-∞ ; -1), (1 ; +∞)).
Giaibaitap.me