Câu 132 trang 96 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Chứng minh rằng trung điểm bốn cạnh của một hình chữ nhật là đỉnh của một hình thoi.
Giải:
Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA của hình chữ nhật ABCD.
Kẻ đường chéo AC.
– Trong ∆ ABC ta có:
E là trung điểm của AB
F là trung điểm của BC
nên EF là đường trung bình của ∆ ABC
⇒ EF // AC và EF = ({1 over 2})AC (tính chất đường trung bình tam giác) (1)
– Trong ∆ ADC ta có:
H là trung điểm AD
G là trung điểm DC
nên HG là đường trung bình của ∆ ADC.
⇒ HG // AC và HG = ({1 over 2})AC (tính chất đường trung bình của tam giác) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: EF // HG và EF = HG
Suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)
– Xét ∆ AEH và ∆ DGH:
AH = HG (gt)
(widehat {EAH} = widehat {GDH} = {90^0})
AE = DG (vì AB = CD)
Do đó: ∆ AEH = ∆ DGH (c.g.c) ⇒ HE = HG
Vậy hình bình hành EFGH là hình thoi (vì có hai cạnh kề bằng nhau)