Câu 103 trang 152 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1
Cho đoạn thẳng AB. Vẽ các cung tâm A và B có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại C và D. Chứng minh rằng CD là đường trung trực của AB.
Giải
Gọi H là giao điểm của AB và CD
Nối AC, AD, BC, BD
Xét ∆ACD và ∆BCD, ta có:
AC = BC (bán kính hai cung tròn bằng nhau)
AD = BD (bán kính hai cung tròn bằng nhau)
CD cạnh chung
Suy ra ∆ACD = ∆BCD (c.c.c)
Suy ra: (widehat {{C_1}} = widehat {{C_2}}) (hai góc tương ứng)
Xét hai tam giác AHC và BHC, ta có:
AC = BC (bán kính hai cung tròn bằng nhau)
(widehat {{C_1}} = widehat {{C_2}}) (chứng minh trên)
CH cạnh chung
Suy ra: ∆AHC = ∆BHC (c.g.c)
Suy ra: AH = BH (hai cạnh tương ứng) (1)
Ta có: (widehat {{H_1}} = widehat {{H_2}}) (hai cạnh tương ứng)
(widehat {{H_1}} + widehat {{H_2}} = 180^circ ) (hai góc kề bù)
Suy ra: (widehat {{H_1}} = widehat {{H_2}} = 90^circ Rightarrow C{rm{D}} bot AB) (2)
Từ (1) và (2) suy ra CD là đường trung trực của AB.