Bài 1.17 trang 16 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12
Xác định m để hàm số: (y = {x^3} – m{x^2} + (m – {2 over 3})x + 5) có cực trị tại x = 1. Khi đó, hàm số đạt cực tiểu hay đạt cực đại? Tính cực trị tương ứng.
Hướng dẫn làm bài:
(y = {x^3} – m{x^2} + (m – {2 over 3})x + 5)
Ta biết hàm số y = f(x) có cực trị khi phương trình y’ = 0 có nghiệm và y’ đổi dấu khi qua các nghiệm đó.
Ta có:
Xét y’ = 0, ta có: (y’ = 3{x^2} – 2mx + (m – {2 over 3}))
∆’ > 0 khi m < 1 hoặc m > 2 (*)
Để hàm số có cực trị tại x = 1 thì
(y'(1) = 3 – 2m + m – {2 over 3} = 0 < = > m = {7 over 3}) , thỏa mãn điều kiện (*)
Với (m = {7 over 3}) thì hàm số đã cho trở thành:
(y = {x^3} – {7 over 3}{x^2} + {5 over 3}x + 5)
Ta có:
(eqalign{
& y’ = 3{x^2} – {{14} over 3}x + {5 over 3} cr
& y” = 6x – {{14} over 3} cr} )
Vì (y”(1) = 6 – {{14} over 3} > 0) nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và ({y_{CT}} = {y_{left( 1 right)}} = {{16} over 3}.)
Bài 1.18 trang 16 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12
Chứng minh rằng hàm số:
(f(x) = left{ matrix{
– 2x,forall x ge 0 hfill cr
sin {x over 2},forall x < 0 hfill cr} right.)
Không có đạo hàm tại x = 0 nhưng đạt cực đại tại điểm đó.
Hướng dẫn làm bài:
Hàm số:
(f(x) = left{ matrix{
– 2x,forall x ge 0 hfill cr
sin {x over 2},forall x < 0 hfill cr} right.)
Không có đạo hàm tại x = 0 vì:
(eqalign{
& mathop {lim }limits_{x to {0^ + }} {{f(x) – f(0)} over x} = mathop {lim }limits_{x to {0^ + }} {{ – 2x} over x} = – 2 cr
& mathop {lim }limits_{x to {0^ + }} {{f(x) – f(0)} over x} = mathop {lim }limits_{x to {0^ + }} {{ – 2x} over x} = – 2 cr} )
Mặt khác, với x < 0 thì (y’ = {1 over 2}cos {x over 2}) , với x > 0 thì y’ = -2 < 0
Bảng biến thiên:
Từ đó ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 0 và yCĐ = y(0) = 0.
Bài 1.19 trang 16 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12
Xác định giá trị m để hàm số sau không có cực trị.
(y = {{{x^2} + 2mx – 3} over {x – m}})
Hướng dẫn làm bài:
Hàm số không có cực trị khi đạo hàm của nó không đổi dấu trên tập xác định (D=mathbb Rbackslash {rm{{ }}m{rm{} }})
Ta có:
(eqalign{
& y = {{{x^2} + 2mx – 3} over {x – m}} cr
& y’ = {{(2x + 2m)(x – m) – ({x^2} + 2mx – 3)} over {{{(x – m)}^2}}} cr
& = {{2{x^2} – 2{m^2} – {x^2} – 2mx + 3} over {{{(x – m)}^2}}} = {{{x^2} – 2mx – 2{m^2} + 3} over {{{(x – m)}^2}}} cr} )
Xét g(x) = x2 – 2mx – 2m2 + 3
∆’g = m2 + 2m2 – 3 = 3(m2 – 1) ;
∆’g ≤ 0 khi – 1 ≤ m ≤ 1.
Khi – 1 ≤ m ≤ 1 thì phương trình g(x) = 0 vô nghiệm hay y’ = 0 vô nghiệm và y’ > 0 trên tập xác định. Khi đó, hàm số không có cực trị.
Khi m = 1 hoặc m = -1, hàm số đã cho trở thành y = x + 3 (với x ≠ 1) hoặc y = x – 3 (với x ≠ – 1) Các hàm số này không có cực trị.
Vậy hàm số đã cho không có cực trị khi – 1 ≤ m ≤ 1.
Giaibaitap.me