Bài 1 trang 17 sgk giải tích 11
Hãy xác định các giá trị của (x) trên đoạn (left[ { – pi ;{{3pi } over 2}} right]) để hàm số (y = tanx) ;
a) Nhận giá trị bằng (0) ;
b) Nhận giá trị bằng (1) ;
c) Nhận giá trị dương ;
d) Nhận giá trị âm.
Đáp án :
a) trục hoành cắt đoạn đồ thị (y = tanx) (ứng với (x in) (left[ { – pi ;{{3pi } over 2}} right])) tại ba điểm có hoành độ – π ; 0 ; π. Do đó trên đoạn (left[ { – pi ;{{3pi } over 2}} right]) chỉ có ba giá trị của (x) để hàm số (y = tanx) nhận giá trị bằng (0), đó là (x = – π; x = 0 ; x = π).
b) Đường thẳng (y = 1) cắt đoạn đồ thị (y = tanx) (ứng với (xin)(left[ { – pi ;{{3pi } over 2}} right])) tại ba điểm có hoành độ ({pi over 4};{pi over 4} pm pi ) . Do đó trên đoạn (left[ { – pi ;{{3pi } over 2}} right]) chỉ có ba giá trị của (x) để hàm số (y = tanx) nhận giá trị bằng (1), đó là (x = – {{3pi } over 4};,,x = {pi over 4};,,x = {{5pi } over 4}).
c) Phần phía trên trục hoành của đoạn đồ thị (y = tanx) (ứng với (x in) (left[ { – pi ;{{3pi } over 2}} right])) gồm các điểm của đồ thị có hoành độ truộc một trong các khoảng (left( { – pi ; – {pi over 2}} right)); (left( {0;{pi over 2}} right)); (left( {pi ;{{3pi } over 2}} right)). Vậy trên đoạn (left[ { – pi ;{{3pi } over 2}} right]) , các giá trị của (x) để hàm số (y = tanx) nhận giá trị dương là (x in left( { – pi ; – {pi over 2}} right) cup left( {0;{pi over 2}} right) cup left( {pi ;{{3pi } over 2}} right)).
d) Phần phía dưới trục hoành của đoạn đồ thị (y = tanx) (ứng với (x in) (left[ { – pi ;{{3pi } over 2}} right])) gồm các điểm của đồ thị có hoành độ thuộc một trong các khoảng (left( { – {pi over 2};0} right),left( {{pi over 2};pi } right)). Vậy trên đoạn (left[ { – pi ;{{3pi } over 2}} right]) , các giá trị của (x) để hàm số (y = tanx) nhận giá trị âm là (x in left( { – {pi over 2};0} right),left( {{pi over 2};pi } right))
Bài 2 trang 17 sgk giải tích 11
Tìm tập xác định của các hàm số:
a) (y=frac{1+cosx}{sinx}) ;
b) (y=sqrt{frac{1+cosx}{1-cosx}}) ;
c) (y=tan(x-frac{pi }{3})) ;
d) ( y=cot(x+frac{pi }{6})) .
Giải:
Câu a:
Hàm số (y=frac{1+cosx}{sinx}) xác định khi (sinxneq 0Leftrightarrow x neq k pi,kin mathbb{Z})
Vậy tập xác định của hàm số là (D=mathbb{R} setminus left { k pi,kin mathbb{Z} right })
Câu b:
Hàm số (y=sqrt{frac{1+cosx}{1-cosx}}) xác định khi (left{begin{matrix} frac{1+cosx}{1-cosx}geq 0 1-cosxneq 0 end{matrix}right.)
(Leftrightarrow 1-cosx> 0(do 1+cosxgeq 0))
(Leftrightarrow cosxneq 1 Leftrightarrow x neq k2 pi,kin mathbb{Z})
Vậy tập xác định của hàm số là (D=mathbb{R} setminus left { k 2 pi,kin mathbb{Z} right })
Câu c:
Hàm số xác định khi (cosleft ( x-frac{pi }{3} right )neq 0) xác định khi:(x-frac{pi }{3}neq frac{pi }{2}+kpi Leftrightarrow xneq frac{5pi }{6}+kpi (kin Z))
Vậy tập xác định của hàm số (D=mathbb{R} setminus left { frac{5pi }{6}+k pi ,kin Z right })
Câu d:
Hàm số xác định khi (sin left ( x+frac{pi }{6} right )neq 0) xác định khi (x+frac{pi }{6}neq kpi Leftrightarrow xneq -frac{pi }{6}+kpi,kin Z)
Vậy tập xác định của hàm số là (D=mathbb{R} setminus left { frac{pi }{6}+k pi ,kin Z right })
Bài 3 trang 17 sgk giải tích 11
Dựa vào đồ thị hàm số (y = sinx), hãy vẽ đồ thị của hàm số (y = |sinx|).
Giải
Ta có
(left| {{mathop{rm s}nolimits} {rm{inx}}} right| = left{ matrix{
{mathop{rm s}nolimits} {rm{inx}},{mathop{rm s}nolimits} {rm{inx}} ge {rm{0}} hfill cr {rm{ – sinx}},{mathop{rm s}nolimits} {rm{inx}} le 0 hfill cr} right.)
Mà (sinx < 0) (⇔ x ∈ (π + k2π , 2π + k2π), k ∈ Z) nên lấy đối xứng qua trục (Ox) phần đồ thị của hàm số (y = sinx) trên các khoảng này còn giữ nguyên phần đồ thị hàm số (y = sinx) trên các đoạn còn lại ta được đồ thị của hàm số (y = |sinx|)
Bài 4 trang 17 sgk giải tích 11
Chứng minh rằng (sin2(x + kπ) = sin 2x) với mọi số nguyên (k). Từ đó vẽ đồ thị hàm số (y = sin2x).
Đáp án :
Do (sin (t + k2π)) = (sint), (forall k in Z) (tính tuần hoàn của hàm số f((t) = sint)), từ đó
(sin(2π + k2π) = sin2x Rightarrow sin2(tx+ kπ) = sin2x), (∀k ∈ Z).
Do tính chất trên, để vẽ đồ thị của hàm số (y = sin2x), chỉ cần vẽ đồ thị của hàm số này trên một đoạn có độ dài (π) (đoạn (left[ { – {pi over 2};{pi over 2}} right]) Chẳng hạn), rồi lại tịnh tiến dọc theo trục hoành sang bên phải và bên trái từng đoạn có độ dài (π) .
Với mỗi (x_0 in) (left[ { – {pi over 2};{pi over 2}} right]) thì (x = 2x_0in [-π ; π]), điểm (M(x ; y = sinx)) thuộc đoạn đồ thị ((C)) của hàm số (y = sinx), ((x ∈ [-π ; π])) và điểm (M’(x_0 ; y_0 = sin2x_0)) thuộc đoạn đồ thị ((C’)) của hàm số (y = sin2x), ( (x ∈) (left[ { – {pi over 2};{pi over 2}} right])) (h.5).
Chú ý rằng, (x = 2x_0 Rightarrow sinx = sin2x_0) do đó hai điểm (M’) , (M) có tung độ bằng nhau nhưng hoành độ của (M’) bằng một nửa hoành độ của (M). Từ đó ta thấy có thể suy ra ((C’)) từ ((C)) bằng cách “co” ((C)) dọc theo trục hoành như sau :
– Với mỗi (M(x ; y) ∈ (C)) , gọi (H) là hình chiếu vuông góc của (M) xuống trục (Oy) và (M’) là trung điểm của đoạn (HM) thì (M’) (left( {{x over 2};y} right)) (∈ (C’)) (khi (M) vạch trên ((C)) thì (M’) vạch trên ((C’))). Trong thực hành, ta chỉ cần nối các điểm đặc biệt của ((C’)) (các điểm (M’) ứng với các điểm (M) của ((C)) với hoành độ (in left{ {0;,, pm {pi over 6};,, pm {pi over 4};,, pm {pi over 3};,, pm {pi over 2}} right}) ).
Giaibaitap.me