Bài 1 trang 36 sgk giải tích 11
Giải phương trình
({sin ^2}x – {mathop{rm sinx}nolimits} = 0).
Đáp án :
({sin ^2}x – {mathop{rm sinx}nolimits} = 0 Leftrightarrow sinx(sinx – 1) = 0)
( Leftrightarrow left[ matrix{
{mathop{rm s}nolimits} {rm{in x = 0}} hfill cr
{rm{sin x = 1}} hfill cr} right. Leftrightarrow left[ matrix{
x = kpi hfill cr
x = {pi over 2} + k2pi hfill cr} right.;k in mathbb{Z})
Bài 2 trang 36 sgk giải tích 11
Giải các phương trình sau:
a)(2co{s^2}x{rm{ }} – {rm{ }}3cosx{rm{ }} + {rm{ }}1{rm{ }} = {rm{ }}0);
b) (2sin2x{rm{ }} + sqrt 2 sin4x{rm{ }} = {rm{ }}0).
Giải
a) Đặt ( t = cosx, t in [-1 ; 1]) ta được phương trình:
(2{t^2} – {rm{ }}3t{rm{ }} + {rm{ }}1{rm{ }} = {rm{ }}0 Leftrightarrow {rm{ }}t in left{ {1;{1 over 2}} right})
Nghiệm của phương trình đã cho là các nghiệm của hai phương trình sau:
(cosx = 1 Leftrightarrow {rm{ }}x = {rm{ }}k2pi ) và (cosx = {1 over 2} Leftrightarrow {rm{ }}x{rm{ }} = pm {pi over 3} + {rm{ }}k2pi ).
Vậy (x = {rm{ }}k2pi ) và (x{rm{ }} = pm {pi over 3} + {rm{ }}k2pi ) ((kinmathbb{Z})).
b) Ta có (sin4x = 2sin2xcos2x) (công thức nhân đôi), do đó phương trình đã cho tương đương với
(left[ matrix{
sin 2x = 0 hfill cr
cos 2x = – {1 over {sqrt 2 }} hfill cr} right. Leftrightarrow left[ matrix{
2x = kpi hfill cr
2x = pm {{3pi } over 4} + k2pi hfill cr} right.)
( Leftrightarrow left[ matrix{
x = {{kpi } over 2} hfill cr
x = pm {{3pi } over 8} + kpi hfill cr} right.(k in mathbb{Z}))
Bài 3 trang 37 sgk giải tích 11
Giải các phương trình sau:
a) (si{n^2}{x over 2} – {rm{ }}2cos{x over 2} + {rm{ }}2{rm{ }} = {rm{ }}0);
b) (8co{s^2}x{rm{ }} + {rm{ }}2sinx{rm{ }} – {rm{ }}7{rm{ }} = {rm{ }}0);
c) (2ta{n^2}x{rm{ }} + {rm{ }}3tanx{rm{ }} + {rm{ }}1{rm{ }} = {rm{ }}0);
d) (tanx{rm{ }} – {rm{ }}2cotx{rm{ }} + {rm{ }}1{rm{ }} = {rm{ }}0).
Giải
a) Đặt (t = {rm{ }}cos{x over 2},{rm{ }}t in left[ { – 1{rm{ }};{rm{ }}1} right]) thì phương trình trở thành
((1{rm{ }} – {rm{ }}{t^2}){rm{ }} – {rm{ }}2t{rm{ }} + {rm{ }}2{rm{ }} = {rm{ }}0 Leftrightarrow {t^{2}} + {rm{ }}2t{rm{ }} – 3{rm{ }} = {rm{ }}0)
( Leftrightarrow left[ matrix{
t = 1 hfill cr
t = – 3 hfill text{(loại)}cr} right.)
Phương trình đã cho tương đương với
(cos{x over 2} = {rm{ }}1 Leftrightarrow {x over 2} = {rm{ }}k2pi Leftrightarrow {rm{ }}x{rm{ }} = {rm{ }}4kpi ,{rm{ }}k inmathbb{Z} ).
b) Đặt (t = sinx, t ∈ [-1 ; 1]) thì phương trình trở thành
(8(1{rm{ }} – {t^2}){rm{ }} + {rm{ }}2t{rm{ }} – {rm{ }}7{rm{ }} = {rm{ }}0{rm{ }} Leftrightarrow {rm{ }}8{t^{2}} – {rm{ }}2t{rm{ }} – {rm{ }}1{rm{ }} = {rm{ }}0)
( Leftrightarrow left[ matrix{
t = {1 over 2} hfill cr
t = – {1 over 4} hfill cr} right.)
Phương trình đã cho tương đương :
(sinx = {1 over 2} Leftrightarrow sin x = {pi over 6} Leftrightarrow left[ matrix{
x = {pi over 6} + k2pi hfill cr
x = {{5pi } over 6} + k2pi hfill cr} right.(k in mathbb{Z}))
và
(sinx = – {1 over 4} Leftrightarrow sin x = arcsin left( { – {1 over 4}} right))
(Leftrightarrow left[ matrix{
x = arcsin left( { – {1 over 4}} right) + k2pi hfill cr
x = pi – arcsin left( { – {1 over 4}} right) + k2pi hfill cr} right.(k in mathbb{Z}))
c) Đặt (t = tanx) thì phương trình trở thành
(2{t^{2}} + {rm{ }}3t{rm{ }} + {rm{ }}1{rm{ }} = {rm{ }}0 Leftrightarrow left[ matrix{
t = – 1 hfill cr
t = – {1 over 2} hfill cr} right.)
Phương trình đã cho tương đương:
(left[ matrix{
tan x = – 1 hfill cr
tan x = – {1 over 2} hfill cr} right.)
( Leftrightarrow left[ matrix{
x = – {pi over 4} + kpi hfill cr
x = arctan left( { – {1 over 2}} right) + kpi hfill cr} right.(k in mathbb{Z}))
d) Đặt (t = tanx) thì phương trình trở thành
(t – {2 over t} + {rm{ }}1{rm{ }} = {rm{ }}0 Leftrightarrow {t^{2}} + {rm{ }}t{rm{ }} – {rm{ }}2{rm{ }} = {rm{ }}0 Leftrightarrow left[ matrix{
t = 1 hfill cr
t = – 2 hfill cr} right.)
Phương trình đã cho tương đương:
(left[ matrix{
{mathop{rm tanx}nolimits} = 1 hfill cr
tanx = – 2 hfill cr} right. Leftrightarrow left[ matrix{
x = {pi over 4} + kpi hfill cr
x = arctan ( – 2) + kpi hfill cr} right.(k inmathbb{Z} ))
Bài 4 trang 37 sgk giải tích 11
Giải các phương trình sau:
a) (2si{n^2}x{rm{ }} + {rm{ }}sinxcosx{rm{ }} – {rm{ }}3co{s^2}x{rm{ }} = {rm{ }}0);
b) (3si{n^2}x{rm{ }} – {rm{ }}4sinxcosx{rm{ }} + {rm{ }}5co{s^2}x{rm{ }} = {rm{ }}2);
c) (si{n^2}x{rm{ }} + {rm{ }}sin2x{rm{ }} – {rm{ }}2co{s^2}x{rm{ }} = {1 over 2}) ;
d) (2co{s^2}x{rm{ }} – {rm{ }}3sqrt 3 sin2x{rm{ }} – {rm{ }}4si{n^2}x{rm{ }} = {rm{ }} – 4).
Giải
a) Dễ thấy (cosx = 0) không thỏa mãn phương trình đã cho nên chia phương trình cho (cos^2x) ta được phương trình tương đương (2tan^2x + tanx – 3 = 0).
Đặt (t = tanx) thì phương trình này trở thành
(2{t^2} + t – 3 = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
t = 1 hfill cr
t = – {3 over 2} hfill cr} right.)
Phương trình đã cho tương đương:
(left[ matrix{
tan x = 1 hfill cr
tan x = – {3 over 2} hfill cr} right.)
(Leftrightarrow left[ matrix{
x = {pi over 4} + kpi hfill cr
x = arctan left( { – {3 over 2}} right) + kpi hfill cr} right.(k inmathbb{Z} ))
b)(3si{n^2}x{rm{ }} – {rm{ }}4sinxcosx{rm{ }} + {rm{ }}5co{s^2}x{rm{ }} = {rm{ }}2)
(Leftrightarrow 3si{n^2}x{rm{ }} – {rm{ }}4sinxcosx{rm{ }} + {rm{ }}5co{s^2}x{rm{ }} = {rm{ }}2si{n^2}x{rm{ }})
(+ {rm{ }}2co{s^2}x)
(Leftrightarrow sin^2x – 4sinxcosx + 3cos^2x = 0)
Dễ thấy (cosx = 0) không thỏa mãn phương trình đã cho nên chia phương trình cho (cos^2x) ta được phương trình tương đương
(Leftrightarrow tan^2x – 4tanx + 3 = 0)
(Leftrightarrow left[ matrix{
tan x = 1 hfill cr
tan x = 3 hfill cr} right.)
(Leftrightarrow left[ matrix{
x = {pi over 4} + kpi hfill cr
x = arctan 3 + kpi hfill cr} right.(k in mathbb{Z}))
c) (si{n^2}x{rm{ }}+{rm{ }}sin2x{rm{ }} – {rm{ }}2co{s^2}x{rm{ }} = {1 over 2})
(Leftrightarrow si{n^2}x{rm{ }} + 2sinxcosx- {rm{ }}2co{s^2}x{rm{ }} =)
({1 over 2}(sin^2x+cos^2x))
({1 over 2}si{n^2}x{rm{ }} + {rm{ }}2sinxcosx{rm{ }} -{5over 2}co{s^2}x = 0)
( Leftrightarrow si{n^2}x +4sin xcos x – 5{cos ^2}x = 0)
Dễ thấy (cosx = 0) không thỏa mãn phương trình đã cho nên chia phương trình cho (cos^2x) ta được phương trình tương đương
(tan x + 4tan x – 5= 0 Leftrightarrow left[ matrix{
tan x = 1 hfill cr
tan x = -5 hfill cr} right.)
( Leftrightarrow left[ matrix{
x = {pi over 4} + kpi hfill cr
x = arctan (-5)+ kpi hfill cr} right.(k inmathbb{Z} ))
d) (2co{s^2}x{rm{ }} – {rm{ }}3sqrt 3 sin2x{rm{ }} – {rm{ }}4si{n^2}x{rm{ }} = {rm{ }} – 4)
(Leftrightarrow 2{cos ^2}x – 3sqrt 3 sin 2x + 4 – 4{sin ^2}x = 0)
(Leftrightarrow 2{cos ^2}x – 3sqrt 3 sin 2x + 4 – 4(1 – {cos ^2}x) = 0)
(Leftrightarrow 6{cos ^2}x – 6sqrt 3 sin xcos x = 0)
(Leftrightarrow 6cos x(cos x – sqrt 3 sin x) = 0)
(Leftrightarrow left[ matrix{
cos x = 0(1) hfill cr
cos x – sqrt 3 sin x = 0(2) hfill cr} right.)
Giải (1) ta được (x={piover 2}+kpi) ((kinmathbb{Z}))
Giải (2): Dễ thấy (cosx = 0) không thỏa mãn phương trình nên chia phương trình cho (cosx) ta được phương trình tương đương:
(tanx={1oversqrt3}Leftrightarrow x={piover6}+kpi(kinmathbb{Z}))
Giaibaitap.me