Bài 1 trang 23 sgk giải tích 12
Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a) (y{rm{ }} = {rm{ }}{x^3}-{rm{ }}3{x^2}-{rm{ }}9x{rm{ }} + {rm{ }}35) trên các đoạn ([-4; 4]) và ([0;5]) ;
b) (y{rm{ }} = {rm{ }}{x^4}-{rm{ }}3{x^2} + {rm{ }}2) trên các đoạn ([0;3]) và ([2;5]);
c) (y = {{2 – x} over {1 – x}}) trên các đoạn ([2;4]) và ([-3;-2]);
d) (y = sqrt {5 – 4{rm{x}}}) trên đoạn ([-1;1]).
Giải
a) Xét (D = [-4; 4])
(y’ = 3{{rm{x}}^2} – 6{rm{x}} – 9;y = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = 3 in D hfill cr
x = – 1 in D hfill cr} right.)
Ta có: (y(-4) = -41; y(4) = 15; y(-1) = 40; y(3) = 8)
Vậy (eqalign{
& mathop {max y}limits_{x in left[ { – 4;4} right]} = 40 cr
& mathop {min y}limits_{x in left[ { – 4;4} right]} = – 41 cr})
Xét (D = [0; 5])
(y’ = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = 3 in D hfill cr
x = – 1 notin D hfill cr} right.)
Ta có (y(0) = 35; y(5) = 40; y(3) = 8)
Vậy (mathop {max y}limits_{left[ {0;5} right]} = 40;mathop {min y}limits_{left[ {0;5} right]} = 8)
b) (y’ = 4{x^3} – 6x = 2xleft( {2{x^2} – 3} right);y’ = 0left[ matrix{x = 0 hfill cr x = sqrt {{3 over 2}} hfill cr x = – sqrt {{3 over 2}} hfill cr} right.)
– Với (D = [0; 3]) thì (x = – sqrt {{3 over 2}} notin D)
Ta có (yleft( 0 right) = 2;yleft( 3 right) = 56;yleft( {sqrt {{3 over 2}} } right) = – {1 over 4})
Vậy (mathop {min y}limits_{left[ {0;3} right]} = – {1 over 4};mathop {max y}limits_{left[ {0;3} right]} = 56)
Với (D = [2; 5]) thì (x = 0;x = pm sqrt {{3 over 2}}) đều không thuộc (D) nên (y(2) = 6; y(5) = 552).
Vậy (mathop {min y}limits_{left[ {2;5} right]} = 6;mathop {max y}limits_{left[ {2;5} right]} = 552)
c) (y = {{x – 2} over {x – 1}};y’ = {1 over {{{left( {x – 1} right)}^2}}} > 0;forall x ne 1)
Với (D = [2; 4]: y(2) = 0); (yleft( 4 right) = {2 over 3}). Vậy (mathop {min y}limits_{left[ {2;4} right]} = 0;mathop {max y}limits_{left[ {2;4} right]} = {2 over 3})
Với (D = [-3; -2]): (yleft( { – 3} right) = {5 over 4};yleft( { – 2} right) = {4 over 3}). Vậy (mathop {min }limits_{left[ { – 3; – 2} right]} y = {5 over 4};mathop {max y}limits_{left[ { – 3;2} right]} = {4 over 3})
d)
(eqalign{
& D = left[ { – 1;1} right]:y’ = {{ – 2} over {sqrt {5 – 4x} }} < 0,forall x in left[ { – 1;1} right] cr
& yleft( { – 1} right) = 3;yleft( 1 right) = 1 cr} )
Vậy (mathop {min y}limits_{left[ { – 1;1} right]} = 1;mathop {max y}limits_{left[ { – 1;1} right]} = 3)
Bài 2 trang 24 sách sgk giải tích 12
Trong số các hình chữ nhật cùng có chu vi (16 cm), hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.
Giải:
Kí hiệu (x, y) thứ tự là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật ((0 < x, y < 16)). Khi đó (x + y = 8). Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có : (8 = x + y ≥2sqrt{xy}⇔ xy ≤ 16)
(Rightarrow xy =16 ⇔ x = y = 4). Vậy diện tích hình chữ nhật lớn nhất bằng (16 cm^2) khi (x = y = 4(cm)), tức là khi hình chữ nhật là hình vuông.
Bài 3 trang 24 sách sgk giải tích 12
Trong tất cả các hình chữ nhật cùng có diện tích (48 m^2) , hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất.
Giải:
Kí hiệu (x, y) thứ tự là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật ((x, y > 0)). Khi đó (xy = 48). Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có : (x+ygeq 2sqrt{xy}=2sqrt{48}=8sqrt{3}.)
(x+y=8sqrt{3}.Leftrightarrow x=y=4sqrt{3}). Vậy chu vi hình chữ nhật nhỏ nhất bằng (2(x+y)=16sqrt{3}(m)) khi (x=y=4sqrt{3} (m)), tức là khi hình chữ nhật là hình vuông.
Giaibaitap.me