Bài 1 trang 30 sách sgk giải tích 12
Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số:
a) (y=frac{x}{2-x}).
b) (y=frac{-x+7}{x+1}).
c) (y=frac{2x-5}{5x-2}).
d) (y=frac{7}{x}-1).
Giải
a) Ta có: (mathop {lim }limits_{x to {2^ – }} {x over {2 – x}} = + infty ;,,mathop {lim }limits_{x to {2^ + }} {x over {2 – x}} = – infty ) nên đường thẳng (x = 2) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Ta có: (mathop {lim }limits_{x to + infty } {x over {2 – x}} = – 1;,,mathop {lim }limits_{x to – infty } {x over {2 – x}} = – 1) nên đường thẳng (y = -1) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
b) Ta có: (mathop {lim }limits_{x to {{left( { – 1} right)}^ + }} frac{{ – x + 7}}{{x + 1}} = + infty ;,mathop {lim }limits_{x to {{left( { – 1} right)}^ – }} frac{{ – x + 7}}{{x + 1}} = – infty) nên (x=-1) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Ta có: (mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{ – x + 7}}{{x + 1}} = – 1;,mathop {lim }limits_{x to – infty } frac{{ – x + 7}}{{x + 1}} = – 1) nên đường thẳng (y=-1) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
c) Ta có: (mathop {lim }limits_{x to {{left( {frac{2}{5}} right)}^ + }} frac{{2x – 5}}{{5x – 2}} = – infty ;,mathop {lim }limits_{x to {{left( {frac{2}{5}} right)}^ – }} frac{{2x – 5}}{{5x – 2}} = + infty) nên đường thẳng (x=frac{2}{5}) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Ta có: (mathop {lim }limits_{x to – infty } frac{{2x – 5}}{{5x – 2}} = frac{2}{5};,mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{2x – 5}}{{5x – 2}} = frac{2}{5}) nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng (y=frac{2}{5}) làm tiệm cận ngang.
d) Ta có: (mathop {lim }limits_{x to – infty } left( {frac{7}{x} – 1} right) = – 1;,mathop {lim }limits_{x to + infty } left( {frac{7}{x} – 1} right) = – 1) nên đường thẳng (y=-1) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Ta có: (mathop {lim }limits_{x to {0^ + }} left( {frac{7}{x} – 1} right) = + infty ;,mathop {lim }limits_{x to {0^ – }} left( {frac{7}{x} – 1} right) = – infty) nên đường thẳng (x=0) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Bài 2 trang 30 sách sgk giải tích 12
Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số:
a) (y=frac{2-x}{9-x^2})
b) (y=frac{x^2+x+1}{3-2x-5x^2})
c) (y=frac{x^2-3x+2}{x+1})
d) (y=frac{sqrt {x}+1}{sqrt {x}-1})
Giải:
a)
(mathop {lim }limits_{xrightarrow (-3)^-}frac{2-x}{9-x^2}=+infty); (mathop {lim }limits_{xrightarrow (-3)^+}frac{2-x}{9-x^2}=+infty) nên đường thẳng (x=-3) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
(mathop {lim }limits_{xrightarrow 3^-}frac{2-x}{9-x^2}=-infty); (mathop {lim }limits_{xrightarrow 3^+}frac{2-x}{9-x^2}=-infty) nên đường thẳng (x=3) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
(mathop {lim }limits_{xrightarrow +infty }frac{2-x}{9-x^2}=0); (mathop {lim }limits_{xrightarrow -infty }frac{2-x}{9-x^2}=0) nên đường thẳng: (y = 0) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
b)
(begin{array}{l} mathop {lim }limits_{x to {{left( { – 1} right)}^ + }} frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 – 2x – 5{x^2}}} = + infty ;,,mathop {lim }limits_{x to {{left( { – 1} right)}^ – }} frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 – 2x – 5{x^2}}} = – infty mathop {lim }limits_{x to {{left( {frac{3}{5}} right)}^ + }} frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 – 2x – 5{x^2}}} = – infty ;,,mathop {lim }limits_{x to {{left( {frac{3}{5}} right)}^ – }} frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 – 2x – 5{x^2}}} = + infty end{array})
Nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng: (x=-1;x=frac{3}{5}).
Vì: (mathop {lim }limits_{x to – infty } frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 – 2x – 5{x^2}}} = – frac{1}{5};,,mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 – 2x – 5{x^2}}} = – frac{1}{5})
Nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng (y=-frac{1}{5}).
c)
(mathop {lim }limits_{x to {{( – 1)}^ – }} frac{{{x^2} – 3x + 2}}{{x + 1}} = – infty ;,mathop {lim }limits_{x to {{( – 1)}^ +}} frac{{{x^2} – 3x + 2}}{{x + 1}} = + infty) nên đường thẳng (x=-1) là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
(underset{xrightarrow -infty }{lim}frac{x^{2}-3x+2}{x+1}=underset{xrightarrow -infty }{lim}frac{x^2(1-frac{3}{x}+frac{2}{x^{2}})}{x(1+frac{1}{x})}=-infty) và (underset{xrightarrow -infty }{lim}frac{x^{2}-3x+2}{x+1}=+infty) nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
d)
Hàm số xác định khi: (left{begin{matrix} xgeq 0 sqrt{x}-1neq 0 end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} xgeq 0 xneq 1 end{matrix}right.)
Vì (mathop {lim }limits_{xrightarrow 1^-}frac{sqrt{x}+1}{sqrt{x}-1}=-infty)( hoặc (mathop {lim }limits_{xrightarrow 1^+}frac{sqrt{x}+1}{sqrt{x}-1}=+infty) ) nên đường thẳng (x = 1) là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vì (mathop {lim }limits_{xrightarrow +infty }frac{sqrt{x}+1}{sqrt{x}-1}=mathop {lim }limits_{xrightarrow +infty }frac{sqrt{x}(1+frac{1}{sqrt{x}})}{sqrt{x}(1-frac{1}{sqrt{x}})}=1) nên đường thẳng (y = 1) là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Giaibaitap.me