Bài 1.20 trang 19 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) f(x) = -3x2 + 4x – 8 trên đoạn [0; 1]
b) f(x) = x3 + 3x2 – 9x – 7 trên đoạn [-4; 3]
c) (f(x) = sqrt {25 – {x^2}} ) trên đoạn [-4; 4]
d) f(x) = |x2 – 3x + 2| trên đoạn [-10; 10]
e) (f(x) = {1 over {sin x}}) trên đoạn ({rm{[}}{pi over 3};{{5pi } over 6}{rm{]}})
g) (f(x) = 2sin x + sin 2x) trên đoạn ({rm{[}}0;{{3pi } over 2}{rm{]}})
Hướng dẫn làm bài:
a) f(x) = -3x2 + 4x – 8 trên đoạn [0; 1]
(eqalign{
& f'(x) = – 6x + 4,f'(x) = 0 < = > x = {2 over 3} cr
& f({2 over 3}) = – {{20} over 3},f(0) = – 8;f(1) = – 7 cr} )
Vậy (mathop {min }limits_{{rm{[}}0;1]} f(x) = – 8;mathop {max }limits_{{rm{[}}0;1]} f(x) = – {{20} over 3})
b) f(x) = x3 + 3x2 – 9x – 7 trên đoạn [-4; 3]
(f'(x) = 3{x^2} + 6x – 9)
(f'(x) = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = 1 hfill cr
x = – 3 hfill cr} right.)
Hàm số đạt cực đại tại x = -3, đạt cực tiểu tại x = 1 và fCĐ = f(-3) = 20; fCT = f(1) = -12 ;
f(-4) = 13 ; f(3) = 20.
Vậy (mathop {min }limits_{{rm{[}} – 4;3]} f(x) = – 12;mathop {max }limits_{{rm{[}} – 4;3]} f(x) = 20)
c) (f(x) = sqrt {25 – {x^2}} ) trên đoạn [-4; 4]
(f'(x) = {{ – x} over {sqrt {25 – {x^2}} }};f'(x) > 0) trên khoảng (-4; 0) và
f’(x) < 0 trên khoảng (0; 4).
Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và fCĐ = 5
Mặt khác, ta có f(-4) = f(4) = 3
Vậy (mathop {min }limits_{{rm{[}} – 4;4]} f(x) = 3;mathop {max }limits_{{rm{[}} – 4;4]} f(x) = 5)
d) (f(x) = |{x^2} – 3x + 2|) trên đoạn [-10; 10]
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số g(x) = x2 – 3x + 2.
Ta có:
(g'(x) = 2x – 3;g'(x) = 0 < = > x = {3 over 2})
Bảng biến thiên:
Vì
(f(x) = left{ matrix{
g(x),{x^2} – 3x + 2 ge 0 hfill cr
– g(x),{x^2} – 3x + 2 < 0 hfill cr} right.)
nên ta có đồ thị f(x) như sau:
Từ đồ thị suy ra: (mathop {min }limits_{{rm{[}} – 10;10]} f(x) = f(1) = f(2) = 0;mathop {max }limits_{{rm{[}} – 10;10]} f(x) = f( – 10) = 132)
e) (f(x) = {1 over {sin x}}) trên đoạn ({rm{[}}{pi over 3};{{5pi } over 6}{rm{]}})
(f'(x) = – {{cos x} over {{{sin }^2}x}},f'(x) < 0) nên và f’(x) > 0 trên (({pi over 2};{{5pi } over 6}{rm{]}}) nên hàm số đạt cực tiểu tại (x = {pi over 2}) và ({f_{CT}} = f({pi over 2}) = 1)
Mặt khác, (f({pi over 3}) = {2 over {sqrt 3 }},f({{5pi } over 6}) = 2)
Vậy (mathop {min }limits_{{rm{[}}{pi over 3};{{5pi } over 6}]} f(x) = 1;mathop {max }limits_{{rm{[}}{pi over 3};{{5pi } over 6}]} f(x) = 2)
g) (f(x) = 2sin x + sin 2x) trên đoạn ({rm{[}}0;{{3pi } over 2}{rm{]}})
(f'(x) = 2cos x + 2cos 2x = 4cos {x over 2}cos {{3x} over 2})
(f'(x) = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
cos {x over 2} = 0 hfill cr
cos {{3x} over 2} = 0 hfill cr} right. Rightarrow left[ matrix{
x = pi hfill cr
x = {pi over 3} hfill cr} right.)
Ta có: (f(0) = 0,f({pi over 3}) = {{3sqrt 3 } over 2},f(pi ) = 0,f({{3pi } over 2}) = – 2)
Từ đó ta có : (mathop {min }limits_{{rm{[}}0;{{3pi } over 2}]} f(x) = – 2;mathop {max }limits_{{rm{[}}0;{{3pi } over 2}]} f(x) = {{3sqrt 3 } over 2}).
Bài 1.21 trang 20 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) (y = {x over {4 + {x^2}}}) trên khoảng (( – infty ; + infty )) ;
b) (y = {1 over {cos x}}) trên khoảng (({pi over 2};{{3pi } over 2}))
c) (y = {1 over {1 + {x^4}}}) trên khoảng (( – infty ; + infty )) ;
d) (y = {1 over {sin x}}) trên khoảng ((0;pi )) .
Hướng dẫn làm bài:
a) (y = {x over {4 + {x^2}}}) trên khoảng (( – infty ; + infty ))
(eqalign{
& y’ = {{4 – {x^2}} over {{{(4 + {x^2})}^2}}} cr
& y’ = 0 Rightarrow left[ matrix{
x = – 2 hfill cr
x = 2 hfill cr} right. cr} )
Từ đó ta có (mathop {min }limits_R f(x) = – {1 over 4};mathop {max }limits_R f(x) = {1 over 4})
b) (y = {1 over {cos x}}) trên khoảng (({pi over 2};{{3pi } over 2}))
(y’ = {{sin x} over {{{cos }^2}x}};y’ = 0 < = > x = pi)
Bảng biến thiên:
Hàm số không có giá trị nhỏ nhất. Giá trị lớn nhất của hàm số là: (mathop {max }limits_{({pi over 2};{{3pi } over 2})} y = y(pi ) = – 1)
c) (y = {1 over {1 + {x^4}}}) trên khoảng (( – infty ; + infty )) ;
(y’ = {{ – 4{x^3}} over {{{(1 + {x^4})}^2}}};y’ = 0 < = > x = 0)
Bảng biến thiên:
Hàm số không có giá trị nhỏ nhất. Giá trị lớn nhất là: (mathop {max }limits_R y = y(0) = 1)
d) (y = {1 over {sin x}}) trên khoảng ((0;pi ))
(y’ = {{ – cos x} over {{{sin }^2}x}},y’ = 0 < = > x = {pi over 2})
Bảng biến thiên:
Hàm số không có giá trị lớn nhất. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là: (mathop {min }limits_{(0;pi )} y = y({pi over 2}) = 1).
Bài 1.22 trang 20 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số (f(x) = {{2x – 1} over {x – 3}}) trên đoạn [0; 2].
(Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2008, lần 2)
Hướng dẫn làm bài:
TXĐ: D =R{3}
(f'(x) = – {5 over {{{(x – 3)}^2}}} < 0,forall x in D) và do đó f(x) nghịch biến trên các khoảng (( – infty ;3),(3; + infty ))
Ta thấy ({rm{[}}0;2] subset ( – infty ;3).)
Vì vậy: (mathop {min }limits_{{rm{[}}0;2]} f(x) = f(2) = – 3;mathop {max }limits_{{rm{[}}0;2]} f(x) = f(0) = {1 over 3}).
Giaibaitap.me