Bài 1.29 trang 22 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12
Tìm các tiệm cận đường và ngang của đồ thị mỗi hàm số sau:
a) (y = {{2x – 1} over {x + 2}});
b) (y = {{3 – 2x} over {3x + 1}})
c) (y = {5 over {2 – 3x}})
d) (y = {{ – 4} over {x + 1}})
Hướng dẫn làm bài:
a) (y = {{2x – 1} over {x + 2}})
Ta có: (mathop {lim }limits_{x to – {2^ + }} {{2x – 1} over {x + 2}} = – infty ,mathop {lim }limits_{x to – {2^ – }} {{2x – 1} over {x + 2}} = + infty ) nên đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vì (mathop {lim }limits_{x to pm infty } {{2x – 1} over {x + 2}} = mathop {lim }limits_{x to pm infty } {{2 – {1 over x}} over {1 + {2 over x}}} = 2) nên đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
b) Từ (mathop {lim }limits_{x to {{( – {1 over 3})}^ + }} {{3 – 2x} over {3x + 1}} = + infty ;mathop {lim }limits_{x to {{( – {1 over 3})}^ – }} {{3 – 2x} over {3x + 1}} = – infty ) , ta có (x = – {1 over 3}) là tiệm cận đứng
Vì (mathop {lim }limits_{x to pm infty } {{3 – 2x} over {3x + 1}} = mathop {lim }limits_{x to pm infty } {{{3 over x} – 2} over {3 + {1 over x}}} = – {2 over 3}) nên đường thẳng (y = – {2 over 3}) là tiệm cận ngang.
c) Vì (mathop {lim }limits_{x to {{({2 over 3})}^ + }} {5 over {2 – 3x}} = – infty ;mathop {lim }limits_{x to {{({2 over 3})}^ – }} {5 over {2 – 3x}} = + infty ) nên (x = {2 over 3}) là tiệm cận đứng,
Do (mathop {lim }limits_{x to pm infty } {5 over {2 – 3x}} = 0) nên y = 0 là tiệm cận ngang.
d) Do (mathop {lim }limits_{x to – {1^ + }} {{ – 4} over {x + 1}} = – infty ;mathop {lim }limits_{x to – {1^ – }} {{ – 4} over {x + 1}} = + infty ) nên x = -1 là tiệm cận đứng.
Vì (mathop {lim }limits_{x to pm infty } {{ – 4} over {x + 1}} = 0) nên y = 0 là tiệm cận ngang.
Bài 1.30 trang 22 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12
Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị mỗi hàm số sau:
a) (y = {{{x^2} – 12x + 27} over {{x^2} – 4x + 5}})
b) (y = {{{x^2} – x – 2} over {{{(x – 1)}^2}}})
c) (y = {{{x^2} + 3x} over {{x^2} – 4}})
d) (y = {{2 – x} over {{x^2} – 4x + 3}})
e) (y = {{3x + sqrt {{x^2} + 1} } over {2 + sqrt {3{x^2} + 2} }})
f) (y = {{5x – 1 – sqrt {{x^2} – 2} } over {x – 4}})
Hướng dẫn làm bài:
a) Ta có: (mathop {lim }limits_{x to pm infty } {{{x^2} – 12x + 27} over {{x^2} – 4x + 5}} = mathop {lim }limits_{x to pm infty } {{1 – {{12} over x} + {{27} over {{x^2}}}} over {1 – {4 over x} + {5 over {{x^2}}}}} = 1) nên y = 1 là tiệm cận ngang.
b) Vì (mathop {lim }limits_{x to {1^ pm }} {{{x^2} – x – 2} over {{{(x – 1)}^2}}} = – infty ) nên x = 1 là tiệm cận đứng.
Từ (mathop {lim }limits_{x to pm infty } {{{x^2} – x – 2} over {{{(x – 1)}^2}}} = mathop {lim }limits_{x to pm infty } {{1 – {1 over x} – {2 over {{x^2}}}} over {{{(1 – {1 over x})}^2}}} = 1) suy ra y = 1 là tiệm cận ngang.
c) Vì (mathop {lim }limits_{x to {2^ + }} {{{x^2} + 3x} over {{x^2} – 4}} = mathop {lim }limits_{x to {2^ + }} {{{x^2} + 3x} over {(x – 2)(x + 2)}} = + infty ) và (mathop {lim }limits_{x to {2^ – }} {{{x^2} + 3x} over {(x – 2)(x + 2)}} = – infty ) nên x = 2 là một tiệm cận đứng.
Do (mathop {lim }limits_{x to – {2^ + }} {{{x^2} + 3x} over {{x^2} – 4}} = + infty ) và (mathop {lim }limits_{x to – {2^ – }} {{{x^2} + 3x} over {(x – 2)(x + 2)}} = – infty ) nên x = -2 là tiệm cận đứng thứ hai.
Ta lại có (mathop {lim }limits_{x to pm infty } {{{x^2} + 3x} over {{x^2} – 4}} = mathop {lim }limits_{x to pm infty } {{1 + {3 over x}} over {1 – {4 over {{x^2}}}}} = 1) nên y = 1 là tiệm cận ngang.
d) Do (mathop {lim }limits_{x to {1^ pm }} {{2 – x} over {{x^2} – 4x + 3}} = mathop {lim }limits_{x to {1^ pm }} {{2 – x} over {(x – 1)(x – 3)}} = mp infty) nên x = 1 là tiệm cận đứng.
Mặt khác, (mathop {lim }limits_{x to {3^ pm }} {{2 – x} over {{x^2} – 4x + 3}} = mp infty ) nên x = 3 cũng là tiệm cận đứng
Vì (mathop {lim }limits_{x to pm infty } {{2 – x} over {{x^2} – 4x + 3}} = 0) nên y = 0 là tiệm cận ngang.
e) TXĐ: R
Từ
(eqalign{
& mathop {lim }limits_{x to + infty } y = mathop {lim }limits_{x to + infty } {{3 + sqrt {1 + {1 over {{x^2}}}} } over {{2 over x} + sqrt {3 + {2 over {{x^2}}}} }} = {4 over {sqrt 3 }} = {{4sqrt 3 } over 3} cr
& mathop {lim }limits_{x to – infty } y = mathop {lim }limits_{x to – infty } {{3 – sqrt {1 + {1 over {{x^2}}}} } over {{2 over x} – sqrt {3 + {2 over {{x^2}}}} }} = – {2 over {sqrt 3 }} = – {{2sqrt 3 } over 3} cr} )
Suy ra đồ thị hàm số có các tiệm cận ngang:
(y = {{4sqrt 3 } over 3}) khi (x to + infty )
(y = – {{2sqrt 3 } over 3}) khi (x to – infty )
Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
f) TXĐ: (D = ( – infty ; – sqrt 2 ) cup (sqrt 2 ;4) cup (4; + infty ))
Do (mathop {lim }limits_{x to + infty } y = mathop {lim }limits_{x to + infty } {{5 – {1 over x} – sqrt {1 – {2 over {{x^2}}}} } over {1 – {4 over x}}} = 4)
(mathop {lim }limits_{x to – infty } y = mathop {lim }limits_{x to – infty } {{5 – {1 over x} + sqrt {1 – {2 over {{x^2}}}} } over {1 – {4 over x}}} = 6)
Cho nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang
y = 4 khi (x to + infty )
y = 6 khi (x to – infty )
Vì (mathop {lim }limits_{x to {4^ pm }} y = mathop {lim }limits_{x to {4^ pm }} {{5x – 1 – sqrt {{x^2} – 2} } over {x – 4}} = pm infty )
Cho nên đường thẳng x = 4 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Bài 1.31 trang 23 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12
a) Cho hàm số (y = {{3 – x} over {x + 1}}) có đồ thị (H)
Chỉ ra một phép biến hình biến (H) thành (H’) có tiệm cận ngang y = 2 và tiệm cận đứng x = 2.
b) Lấy đối xứng (H’) qua gốc (O), ta được hình (H’’). Viết phương trình của (H’’).
Hướng dẫn làm bài:
a) Từ đồ thị hàm số (H), để có hình (H’) nhận y = 2 là tiệm cận ngang và x = 2 là tiệm cận đứng, ta tịnh tiến đồ thị (H) song song với trục Oy lên trên 3 đơn vị, sau đó tịnh tiến song song với trục Ox về bên phải 3 đơn vị, ta được các hàm số tương ứng sau:
(eqalign{
& y = f(x) = {{3 – x} over {x + 1}} + 3 = {{3 – x + 3x + 3} over {x + 1}} = {{2x + 6} over {x + 1}} cr
& y = g(x) = {{2(x – 3) + 6} over {x – 3 + 1}} = {{2x} over {x – 2}} cr} )
b) Lấy đối xứng hình (H’) qua gốc O, ta được hình (H’’) có phương trình là:
(y = h(x) = – {{2( – x)} over {( – x) – 2}} = – {{ – 2x} over { – 2 – x}} = – {{2x} over {x + 2}}).
Giaibaitap.me