Bài 1.5 trang 8 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12
Xác định m để hàm số sau:
a) (y = {{mx – 4} over {x – m}})đồng biến trên từng khoảng xác định;
b) (y = {{ – mx – 5m + 4} over {x + m}}) nghịch biến trên từng khoảng xác định;
c) (y = – {x^3} + m{x^2} – 3x + 4) nghịch biến trên ;
d) (y = {x^3} – 2m{x^2} + 12x – 7) đồng biến trên R.
Hướng dẫn làm bài:
a) Tập xác định: D = R{m}
Hàm số đồng biến trên từng khoảng (( – infty ;m),(m; + infty ))khi và chỉ khi:
(eqalign{
& y’ = {{ – {m^2} + 4} over {{{(x – m)}^2}}} > 0 Leftrightarrow – {m^2} + 4 > 0 cr
& Leftrightarrow {m^2} < 4 Leftrightarrow – 2 < m < 2 cr} )
b) Tập xác định: D = R{m}
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng khi và chỉ khi:
(y’ = {{ – {m^2} + 5m – 4} over {{{(x + m)}^2}}} < 0 Leftrightarrow – {m^2} + 5m-4 < 0)
(left[ matrix{
m < 1 hfill cr
m > 4 hfill cr} right.)
c) Tập xác định: D = R
Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi:
(eqalign{
& y’ = – 3{x^2} + 2mx – 3 le 0 Leftrightarrow ‘ = {m^2} – 9 le 0 Leftrightarrow {m^2} le 9 cr
& Leftrightarrow – 3 le m le 3 cr} )
d) Tập xác định: D = R
Hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi:
(eqalign{
& y’ = 3{x^2} – 4mx + 12 ge 0 Leftrightarrow ‘ = 4{m^2} – 36 le 0 cr
& Leftrightarrow {m^2} le 9 Leftrightarrow – 3 le m le 3 cr} )
Bài 1.6 trang 8 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12
Chứng minh các phương trình sau có nghiệm duy nhất
a) (3(c{rm{os x – 1) + }}{rm{2sin x + 6x = 0}})
b) (4x + c{rm{os x – 2sin x – 2 = 0}})
c) ( – {x^3} + {x^2} – 3x + 2 = 0)
d) ({x^5} + {x^3} – 7 = 0)
Hướng dẫn làm bài
a) Đặt y = 3(cos x – 1) + 2sin x + 6
Hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm tại mọi x ∈ R
Ta có: y( ) = 0 và ý = -3sin x + 2cos x + 6 >0, x ∈ R.
Hàm số đồng biến trên R và có một nghiệm (x = pi )
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất.
b) Đặt (y = 4x + cos x – 2sin x – 2)
Hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm tại mọi x ∈ R
Ta có: y(0) = 1 – 2 = -1 < 0 ; (y(pi ) = 4pi – 3 > 0) .
Hàm số liên tục trên ({rm{[}}0;pi {rm{]}}) và y’(0) < 0 nên tồn tại ({x_0} in (0;pi )) sao cho (y({x_0}) = 0) .
Suy ra phương trình có một nghiệm ({x_0}) .
c) Đặt y = – x3 + x2 – 3x + 2
Hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm trên R.
Ta có: y’ = – x2 + 2x – 3 < 0, (y(pi ) = 4pi – 3 > 0), x ∈ R.
Vì a = -3 < 0 và . Suy ra y nghịch biến trên R.
Mặt khác y(-1) = 1 + 1 +3 + 2 = 7 > 0
y(1) = -1 +1 – 3 + 2 = -1 < 0
Hàm số liên tục trên [-1; 1] và y(-1)y(1) < 0 cho nên tồn tại ({x_0} in {rm{[}} – 1;1]) sao cho (y({x_0}) = 0) .
Suy ra phương trình đã cho có đúng một nghiệm.
d) Đặt y = x5 + x3 – 7
Hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm trên R.
Ta có: y(0) = -7 < 0 ; y(2) = 32 + 8 – 7 = 33 > 0
Hàm số liên tục trên [0; 2] và y(0) y(2) < 0 cho nên tồn tại ({x_0} in (0;2)) sao cho (y({x_0}) = 0)
Mặt khác (y’ = 5{x^4} + 3{x^2} = {x^2}(5{x^2} + 3) ge 0,forall x in R)
=> Hàm số đồng biến trên (( – infty ; + infty )).
Suy ra phương trình đã cho có đúng một nghiệm.
Bài 1.7 trang 8 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12
Chứng minh phương trình ({x^5} – {x^2} – 2x – 1 = 0) có nghiệm duy nhất
(Đề thi đại học năm 2004)
Hướng dẫn làm bài:
Trước hết cần tìm điều kiện của nghiệm phương trình (tức là xem nghiệm phương trình, nếu có, phải nằm trong khoảng nào). Ta nhận xét
x5 – x2 – 2x – 1 = 0 ⇔ x5 = (x + 1)2 0 => x ≥ 0
=> (x + 1)2 1 => x5 1 => x 1
Vậy, nếu có, nghiệm của phương trình phải thuộc ({rm{[}}1; + infty {rm{]}}) .
Xét hàm số (f(x) = {x^5} – {x^2} – 2x – 1) ta thấy f(x) liên tục trên R
Mặt khác, (f(1) = – 3 < 0,f(2) = 23 > 0)
Vì f(x) liên tục trên [1; 2] và f(1) f(2) < 0 nên tồn tại ({x_0} in (1;2)) sao cho (f({x_0}) = 0)
Ta có: f’(x) = 5x4 – 2x – 2 = (2x4 – 2x) + (2x4 – 2) + x4
= 2x(x3 – 1) + 2(x4 – 1) + x4 > 0 , (forall x ge 1)
Suy ra f(x) đồng biến trên ({rm{[}}1; + infty {rm{]}})
Giaibaitap.me