Bài 2.4 trang 23 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
Giải các phương trình:
a) ({{sin 3x} over {cos 3x – 1}} = 0)
b) (cos 2xcot left( {x – {pi over 4}} right) = 0)
c) (tan left( {2x + {{60}^o}} right)cos left( {x + {{75}^o}} right) = 0)
d) (left( {cot x + 1} right)sin 3x = 0)
Giải:
a) Điều kiện: cos3x ≠ 1. Ta có:
sin3x = 0 ⇒ 3x = kπ. Do điều kiện, các giá trị k = 2m, m ∈ Z bị loại nên 3x = (2m + 1)π. Vậy nghiệm của phương trình là (x = left( {2m + 1} right){pi over 3},m in Z)
b) Điều kiện: (sin left( {x – {pi over 4}} right) ne 0). Biến đổi phương trình:
(cos 2x.cot left( {x – {pi over 4}} right) = 0 Rightarrow cos 2x.cos left( {x – {pi over 4}} right) = 0)
( Rightarrow left[ matrix{
cos 2x = 0 hfill cr
cos left( {x – {pi over 4}} right) = 0 hfill cr} right. Rightarrow left[ matrix{
x = {pi over 4} + k{pi over 2},k in Z hfill cr
x = {{3pi } over 4} + kpi ,k in Z. hfill cr} right.)
Do điều kiện, các giá trị (x = {pi over 4} + 2m{pi over 2},m in Z) bị loại. Vậy nghiệm của phương trình là:
(x = {pi over 4} + left( {2m + 1} right){pi over 2},m in Z) và (x = {{3pi } over 4} + kpi ,k in Z)
c) Điều kiện:
(cos left( {2x + {{60}^o}} right) ne 0)
(eqalign{
& tan left( {2x + {{60}^o}} right)cos left( {x + {{75}^o}} right) = 0 cr
& Rightarrow sin left( {2x + {{60}^o}} right)cos left( {x + {{75}^o}} right) = 0 cr
& Rightarrow left[ matrix{
sin left( {2x + {{60}^o}} right) = 0 hfill cr
cos left( {x + {{75}^o}} right) = 0 hfill cr} right. cr
& Rightarrow left[ matrix{
2x + {60^o} = k{180^o} hfill cr
x + {75^o} = {90^o} + k{180^o},k in Z hfill cr} right. cr
& Rightarrow left[ matrix{
x = – {30^o} + k{90^o},k in Z hfill cr
x = {15^o} + k{180^o},k in Z hfill cr} right. cr})
Do điều kiện ở trên, các giá trị (x = {15^o} + k{180^o},k in Z) bị loại.
Vậy nghiệm của phương trình là: (x = – {30^o} + k{90^o},k in Z)
d) Điều kiện: sinx ≠ 0. Ta có:
(eqalign{
& left( {cot x + 1} right)sin 3x = 0 cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
cot x = – 1 hfill cr
sin 3x = 0 hfill cr} right. cr
& Rightarrow left[ matrix{
x = – {pi over 4} + kpi ,k in Z hfill cr
x = k{pi over 3},k in Z hfill cr} right. cr} )
Do điều kiện sinx ≠ 0 nên những giá trị (x = k{pi over 3}) và (k = 3m,m in Z) bị loại.
Vậy nghiệm của phương trình là:
(x = – {pi over 4} + kpi {rm{ ; }}x = {pi over 3} + kpi) và (x = {{2pi } over 3} + kpi ,k in Z)
Bài 2.5 trang 23 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
Tìm những giá trị của x để giá trị của các hàm số tương ứng sau bằng nhau
a) (y = cos left( {2x – {pi over 3}} right)$ và $y = cos left( {{pi over 4} – x} right))
b) (y = sin left( {3x – {pi over 4}} right)$ và $y = sin left( {x + {pi over 6}} right))
c) (y = tan left( {2x + {pi over 5}} right)$ và $y = tan left( {{pi over 5} – x} right))
d) (y = cot 3x) và (y = cot left( {x + {pi over 3}} right))
Giải:
a)
(eqalign{
& cos left( {2x – {pi over 3}} right) = cos left( {{pi over 4} – x} right) cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
2x – {pi over 3} = {pi over 4} – x + k2pi ,k in Z hfill cr
2x – {pi over 3} = – {pi over 4} + x + k2pi ,k in Z hfill cr} right. cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
3x = {{7pi } over {12}} + k2pi ,k in Z hfill cr
x = {pi over {12}} + k2pi ,k in Z hfill cr} right. cr} )
Vậy các giá trị cần tìm là: (x = {{7pi } over {36}} + k{{2pi } over 3},k in Z) và (x = {pi over {12}} + k2pi ,k in Z)
b)
(eqalign{
& sin left( {3x – {pi over 4}} right) = sin left( {x + {pi over 6}} right) cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
3x – {pi over 4} = x + {pi over 6} + k2pi ,k in Z hfill cr
3x – {pi over 4} = pi – x – {pi over 6} + k2pi ,k in Z hfill cr} right. cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
2x = {{5pi } over {12}} + k2pi ,k in Z hfill cr
4x = {{13pi } over {12}} + k2pi ,k in Z hfill cr} right. cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
x = {{5pi } over {24}} + kpi ,k in Z hfill cr
x = {{13pi } over {48}} + k{pi over 2},k in Z hfill cr} right. cr} )
Vậy các giá trị cần tìm là: (x = {{5pi } over {24}} + kpi ,k in Z) và (x = {{13pi } over {48}} + k{pi over 2},k in Z)
c)
(eqalign{
& tan left( {2x + {pi over 3}} right) = tan left( {{pi over 5} – x} right) cr
& Leftrightarrow left{ matrix{
cos left( {2x + {pi over 5}} right) ne 0;,,cos left( {{pi over 5} – x} right) ne 0left( 1 right) hfill cr
2x + {pi over 5} = {pi over 5} – x + kpi ,k in Zleft( 2 right) hfill cr} right. cr
& left( 2 right) Leftrightarrow x = {{kpi } over 3},k in Z cr} )
Các giá trị này thỏa mãn điều kiện (1). Vậy ta có: (x = {{kpi } over 3},k in Z)
d)
(eqalign{
& cot 3x = cot left( {x + {pi over 3}} right) cr
& Leftrightarrow left{ matrix{
sin 3x ne 0;,,sin left( {x + {pi over 3}} right) ne 0,,,,,left( 3 right) hfill cr
3x = x + {pi over 3} + kpi ,k in Z,,,,left( 4 right) hfill cr} right. cr
& left( 4 right) Leftrightarrow x = {pi over 6} + {{kpi } over 2},k in Z cr} )
Nếu k = 2m + 1, m ∈ Z thì các giá trị này không thỏa mãn điều kiện (3).
Suy ra các giá trị cần tìm là (x = {pi over 6} + mpi ,m in Z)
Bài 2.6 trang 23 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
Giải các phương trình
a) cos 3x – sin 2x = 0
b) tanx. tan 2x = – 1
c) sin 3x + sin 5x = 0
d) cot 2x. cot 3x = 1
Giải:
a)
(eqalign{
& cos 3x – sin 2x = 0 cr
& Leftrightarrow cos 3x = sin 2x cr
& Leftrightarrow cos 3x = cos left( {{pi over 2} – 2x} right) cr
& Leftrightarrow 3x = pm left( {{pi over 2} – 2x} right) + k2pi ,k in Z cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
5x = {pi over 2} + k2pi ,k in Z hfill cr
x = – {pi over 2} + k2pi ,k in Z hfill cr} right. cr} )
Vậy nghiệm của phương trình là: (x = {pi over {10}} + {{k2pi } over 5},k in Z) và (x = – {pi over 2} + k2pi ,k in Z)
b) Điều kiện của phương trình: cos x ≠ 0 và cos2x ≠ 0
(eqalign{
& tan x.tan 2x = – 1 cr
& Rightarrow sin x.sin 2x = – cos x.cos 2x cr
& Rightarrow cos 2x.cos x + sin 2x.sin x = 0 cr
& Rightarrow cos x = 0 cr} )
Kết hợp với điều kiênh ta thấy phương trình vô nghiệm.
c)
(eqalign{
& sin 3x + sin 5x = 0 cr
& Leftrightarrow 2sin 4x.cos x = 0 cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
sin 4x = 0 hfill cr
cos x = 0 hfill cr} right. cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
4x = kpi ,k in Z hfill cr
x = {pi over 2} + kpi ,k in Z hfill cr} right. cr} )
Vậy nghiệm của phương trình là: (x = {{kpi } over 4},k in Z{rm{ }}) và (x = {pi over 2} + kpi ,k in Z)
d) Điều kiện: sin2x ≠ 0 và sin 3x ≠ 0
(eqalign{
& cot 2x.cot 3x = 1 cr
& Rightarrow cos 2x.cos 3x = sin 2x.sin 3x cr
& Rightarrow cos 2x.cos 3x – sin 2x.sin 3x = 0 cr
& Rightarrow cos 5x = 0 Rightarrow 5x = {pi over 2} + kpi ,k in Z cr
& Rightarrow x = {pi over {10}} + {{kpi } over 5},k in Z cr} )
Với k = 2 + 5m, m ∈ Z thì
(eqalign{
& x = {pi over {10}} + left( {2 + 5m} right).{pi over 5} cr
& = {pi over {10}} + {{2pi } over 5} + mpi cr
& = {pi over 2} + mpi ,m in Z cr} )
Lúc đó (sin 2x = sin left( {pi + 2mpi } right) = 0), không thỏa mãn điều kiện.
Có thể suy ra nghiệm phương trình là (x = {pi over {10}} + {{kpi } over 5},k in Z) và k ≠ 2 + 5m, m ∈ Z
Giaibaitap.me