Câu 43 trang 47 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai ?
a. Các hàm số (y = sin x, y = cos x) có cùng tập xác định.
b. Các hàm số (y = tan x, y = cot x) có cùng tập xác định.
c. Các hàm số (y = sin x, y = tan x) là những hàm số lẻ.
d. Các hàm số (y = cos x, y = cot x) là những hàm số chẵn.
e. Các hàm số (y = sin x, y = cos x) cùng nghịch biến trên khoảng (left( {{pi over 2};{{3pi } over 2}} right))
f. Hàm số (y = cos x) nghịch biến trên khoảng ((-2π ; -π))
g. Trên mỗi khoảng mà hàm số (y = tan x) đồng biến thì hàm số (y = cot x) nghịch biến.
Giải
a. Đúng vì hàm số (y = sin x, y = cos x) có cùng tập xác định (D =mathbb R)
b. Sai vì (y = tan x) xác định (∀x ne {pi over 2} + kpi ) còn (y = cot x) xác định (∀x ≠ kπ)
c. Đúng
d. Sai vì (y = cot x) là hàm số lẻ.
e. Sai vì (y = cos x) không nghịch biến trên khoảng (left( {{pi over 2};{{3pi } over 2}} right))
f. Đúng
g. Sai vì trên khoảng (left( { – {pi over 2};{pi over 2}} right)) hàm số (y = tan x) đồng biến nhưng hàm số (y = cot x) không nghịch biến.
Câu 44 trang 47 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Xét hàm số (y = f(x) = sinπx).
a. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên chẵn (m) ta có (f(x + m) = f(x)) với mọi (x).
b. Lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn ([-1 ; 1]).
c. Vẽ đồ thị của hàm số đó.
Giải:
a. Đặt (m = 2k, k inmathbb Z). Ta có :
(f(x + m) = sinπ(x + m) = sin(πx + 2kπ) = sinπx = f(x))
b. Bảng biến thiên
c. Đồ thị
Câu 45 trang 47 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Đưa các biểu thức sau về dạng (Csin(x + α)) :
a. (sin x + tan {pi over 7}cos x)
b. (tan {pi over 7}sin x + cos x)
Giải
a. Ta có:
(eqalign{
& sin x + tan {pi over 7}cos x = sin x + {{sin {pi over 7}} over {cos {pi over 7}}}cos x cr
& = {1 over {cos {pi over 7}}}left( {sin xcos {pi over 7} + sin {pi over 7}cos x} right) cr
& = {1 over {cos {pi over 7}}}sin left( {x + {pi over 7}} right) cr} )
b.
(eqalign{
& tan {pi over 7}sin x + cos x = {{sin {pi over 7}} over {cos {pi over 7}}}sin x + cos x cr
& = {1 over {cos {pi over 7}}}left( {sin xsin {pi over 7} + cos xcos {pi over 7}} right) cr
& = {1 over {cos {pi over 7}}}cos left( {x – {pi over 7}} right) = {1 over {cos {pi over 7}}}sin left( {x – {pi over 7} + {pi over 2}} right) cr
& = {1 over {cos {pi over 7}}}sin left( {x + {{5pi } over {14}}} right) cr} )
Câu 46 trang 48 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Giải các phương trình sau :
a. (sin left( {x – {{2pi } over 3}} right) = cos 2x)
b. (tan left( {2x + 45^circ } right)tan left( {180^circ – {x over 2}} right) = 1)
c. (cos 2x – {sin ^2}x = 0)
d. (5tan x – 2cot x = 3)
Giải
a. Ta có:
(eqalign{& sin left( {x – {{2pi } over 3}} right) = cos 2x cr & Leftrightarrow sin left( {x – {{2pi } over 3}} right) = sin left( {{pi over 2} – 2x} right) cr & Leftrightarrow left[ {matrix{{x – {{2pi } over 3} = {pi over 2} – 2x + k2pi } cr {x – {{2pi } over 3} = pi – {pi over 2} + 2x + k2pi } cr} } right. cr & Leftrightarrow left[ {matrix{{x = {{7pi } over {18}} + k{{2pi } over 3}} cr {x = – {{7pi } over 6} – k2pi } cr} } right. cr} )
b. Với ĐKXĐ của phương trình ta có (tan(2x + 45^0) = cot(45^0 – 2x)) và (tan left( {180^circ – {x over 2}} right) = tan left( { – {x over 2}} right)) nên :
(eqalign{
& tan left( {2x + 45^circ } right)tan left( {180^circ – {x over 2}} right) = 1 cr
& Leftrightarrow cot left( {45^circ – 2x} right)tan left( { – {x over 2}} right) = 1 cr
& Leftrightarrow tan left( { – {x over 2}} right) = tan left( {45^circ – 2x} right) cr
& Leftrightarrow – {x over 2} = 45^circ – 2x + k180^circ cr
& Leftrightarrow x = 30^circ + k120^circ ,k inmathbb Z cr} )
c. Ta có:
(eqalign{
& cos 2x – {sin ^2}x = 0 cr
& Leftrightarrow cos 2x – {{1 – cos 2x} over 2} = 0 cr
& Leftrightarrow 3cos 2x – 1 = 0 Leftrightarrow cos 2x = {1 over 3} cr
& Leftrightarrow cos 2x = cos alpha ,left( {text{ với },cos alpha = {1 over 3}} right) cr
& Leftrightarrow x = pm {alpha over 2} + kpi ,,(kinmathbb Z)cr} )
d.
(eqalign{& 5tan x – 2cot x = 3 cr & Leftrightarrow 5tan x – {2 over {tan x}} = 3 cr & Leftrightarrow 3{tan ^2}x – 3tan x – 2 = 0 cr & Leftrightarrow left[ {matrix{{tan x = 1} cr {tan x = – {2 over 5}} cr} } right. Leftrightarrow left[ {matrix{{x = {pi over 4} + kpi } cr {x = alpha + kpi } cr}kinmathbb Z } right. cr & text{trong đó},tan alpha = – {2 over 5} cr} )
Câu 47 trang 48 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Giải các phương trình sau :
a. (sin 2x + {sin ^2}x = {1 over 2})
b. (2{sin ^2}x + 3sin xcos x + {cos ^2}x = 0)
c. ({sin ^2}{x over 2} + sin x – 2{cos ^2}{x over 2} = {1 over 2})
Giải
Ta có:
(eqalign{
& sin 2x + {sin ^2}x = {1 over 2} cr
& Leftrightarrow sin 2x + {1 over 2}left( {1 – cos 2x} right) = {1 over 2} cr
& Leftrightarrow sin 2x – {1 over 2}cos 2x = 0 cr
& Leftrightarrow tan 2x = {1 over 2} cr
& Leftrightarrow 2x = alpha + kpi ,text{ với },tan alpha = {1 over 2} cr
& Leftrightarrow x = {alpha over 2} + k{pi over 2},,k inmathbb Z cr} )
b.(x = {pi over 2} + kpi ) không là nghiệm phương trình.
Chia hai vế phương trình cho ({cos ^2}x) ta được :
(eqalign{& 2{tan ^2}x + 3tan x + 1 = 0 Leftrightarrow left[ {matrix{{tan x = – 1} cr {tan x = – {1 over 2}} cr} } right. cr & Leftrightarrow left[ {matrix{{x = – {pi over 4} + kpi } cr {x = alpha + kpi } cr} } right.,left( {k inmathbb Z} right) cr & left( {text{ với },tan alpha = – {1 over 2}} right) cr} )
c. Ta có:
(eqalign{
& {sin ^2}{x over 2} + sin x – 2{cos ^2}{x over 2} = {1 over 2} cr
& Leftrightarrow {sin ^2}{x over 2} + 2sin {x over 2}cos {x over 2} – 2{cos ^2}{x over 2} = {1 over 2} cr} )
Với (x) mà (cos {x over 2} = 0) không là nghiệm phương trình.
Chia hai vế phương trình cho ({cos ^2}{x over 2}) ta được :
(eqalign{& {tan ^2}{x over 2} + 2tan {x over 2} – 2 = {1 over 2}left( {1 + {{tan }^2}{x over 2}} right) cr & Leftrightarrow {tan ^2}{x over 2} + 4tan {x over 2} – 5 = 0 cr & Leftrightarrow left[ {matrix{{tan {x over 2} = 1} cr {tan {x over 2} = – 5} cr} } right. Leftrightarrow left[ {matrix{{{x over 2} = {pi over 4} + kpi } cr {{x over 2} = alpha + kpi } cr} } right.,left( {text{ với },tan alpha = – 5} right) cr & Leftrightarrow left[ {matrix{{x = {pi over 2} + k2pi } cr {x = 2alpha + k2pi } cr} } right.,left( {k inmathbb Z} right) cr} )
Câu 48 trang 48 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
a. Chứng minh rằng (sin {pi over {12}} = {{sqrt 3 – 1} over {2sqrt 2 }})
b. Giải các phương trình (2sin x – 2cos x =1 – sqrt 3 ) bằng cách biến đổi vế trái về dạng (Csin(x + α)).
c. Giải phương trình (2sin x – 2cos x =1 – sqrt 3 ) bằng cách bình phương hai vế.
Giải
a. Ta có:
(eqalign{
& sin {pi over {12}} = sin left( {{pi over 3} – {pi over 4}} right) cr
& = sin {pi over 3}cos {pi over 4} – sin {pi over 4}cos {pi over 3} cr
& = {{sqrt 3 } over 2}.{{sqrt 2 } over 2} – {{sqrt 2 } over 2}.{1 over 2} cr
& = {{sqrt 6 – sqrt 2 } over 4} = {{sqrt 2 left( {sqrt 3 – 1} right)} over 4} cr
& = {{sqrt 3 – 1} over {2sqrt 2 }} cr} )
b. Ta có:
(eqalign{& 2sin x – 2cos x = 1 – sqrt 3 cr & Leftrightarrow {1 over {sqrt 2 }}sin x – {1 over {sqrt 2 }}cos x = {{1 – sqrt 3 } over {2sqrt 2 }} cr & Leftrightarrow sin x.cos {pi over 4} – sin {pi over 4}cos x = – sin {pi over {12}} cr & Leftrightarrow sin left( {x – {pi over 4}} right) = sin left( { – {pi over {12}}} right) cr & Leftrightarrow left[ {matrix{{x – {pi over 4} = – {pi over {12}} + k2pi } cr
{x – {pi over 4} = pi + {pi over {12}} + k2pi } cr} } right. cr & Leftrightarrow left[ {matrix{{x = {pi over 6} + k2pi } cr {x = {{4pi } over 3} + k2pi } cr} } right.left( {k inmathbb Z} right) cr} )
c. Chú ý rằng (1 – sqrt 3 < 0), ta đặt điều kiện (sin x – cos x < 0) rồi bình phương hai vế của phương trình thì được :
(eqalign{& 4left( {1 – sin 2x} right) = 4 – 2sqrt 3 cr & Leftrightarrow sin 2x = {{sqrt 3 } over 2} Leftrightarrow left[ {matrix{{x = {pi over 6} + kpi } cr {x = {pi over 3} + kpi } cr},,(kinmathbb Z) } right. cr} )
Thử vào điều kiện (sin x – cos x < 0), ta thấy :
* Họ nghiệm (x = {pi over 6} + kpi ) thỏa mãn điều kiện (sin x – cos x < 0) khi và chỉ khi (k) chẵn, tức là (x = {pi over 6} + 2mpi ) với (m inmathbb Z).
* Họ nghiệm (x = {pi over 3} + kpi ) thỏa mãn điều kiện (sin x – cos x < 0) khi và chỉ khi (k) lẻ, tức là (x = {pi over 3} + left( {2m + 1} right)pi = {{4pi } over 3} + 2mpi ) với (m inmathbb Z).
Ta có kết quả như đã nêu ở câu b.
Câu 49 trang 48 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Giải phương trình :
({{1 + cos 2x} over {cos x}} = {{sin 2x} over {1 – cos 2x}})
Giải
ĐKXĐ :(cos x ne 0,text{ và },cos 2x ne 1.) Với điều kiện đó, ta có:
(eqalign{& {{1 + cos 2x} over {cos x}} = {{sin 2x} over {1 – cos 2x}} cr & Leftrightarrow {{2{{cos }^2}x} over {cos x}} = {{2sin xcos x} over {2{{sin }^2}x}} cr & Leftrightarrow 1 – {1 over {2sin x}} = 0 cr & Leftrightarrow sin x = {1 over 2} Leftrightarrow left[ {matrix{{x = {pi over 6} + k2pi ,left( text{nhận} right)} cr {x = {{5pi } over 6} + k2pi ,left( text{nhận} right)} cr} } right. cr} )
Câu 50 trang 48 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Cho phương trình ({{{{sin }^3}x + {{cos }^3}x} over {2cos x – sin x}} = cos 2x.)
a. Chứng minh rằng (x = {pi over 2} + kpi ) nghiệm đúng phương trình.
b. Giải phương trình bằng cách đặt (tan x = t) (khi (x ne {pi over 2} + kpi ) )
Giải
a. Thay (x = {pi over 2} + kpi ) vào phương trình ta được :
({{{{left( { – 1} right)}^{3k}}} over { – {{left( { – 1} right)}^k}}} = cos pi Leftrightarrow – 1 = – 1) (luôn đúng)
Vậy (x = {pi over 2} + kpi ) là nghiệm phương trình
b. * (x = {pi over 2} + kpi ) là nghiệm phương trình.
* Với (x ne {pi over 2} + kpi ) chia tử và mẫu của vế trái cho ({cos ^3}x) ta được :
({{{{tan }^3}x + 1} over {2left( {1 + {{tan }^2}x} right) – tan xleft( {1 + {{tan }^2}x} right)}} = {{1 – {{tan }^2}x} over {1 + {{tan }^2}x}})
Đặt (t = tan x) ta được :
(eqalign{& {{{t^3} + 1} over {left( {2 – t} right)left( {1 + {t^2}} right)}} = {{1 – {t^2}} over {1 + {t^2}}} cr & Leftrightarrow {t^3} + 1 = left( {{t^2} – 1} right)left( {t – 2} right) cr & Leftrightarrow {t^3} + 1 = {t^3} – 2{t^2} – t + 2 cr & Leftrightarrow 2{t^2} + t – 1 = 0 Leftrightarrow left[ {matrix{
{t = – 1} cr {t = {1 over 2}} cr} } right. cr & Leftrightarrow left[ {matrix{{tan x = – 1} cr {tan x = {1 over 2}} cr} } right. Leftrightarrow left[ {matrix{{x = – {pi over 4} + kpi } cr {x = alpha + kpi } cr} } right. cr & text{ với },tan alpha = {1 over 2} cr} )
Vậy phương trình đã cho có nghiệm :(x = {pi over 2} + kpi ,x = – {pi over 4} + kpi ,x = alpha + kpi ,left( {k inmathbb Z} right))
Giaibaitap.me