Bài 4 trang 44 sách sgk giải tích 12
Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của các phương trình sau:
a) ({x^3}-3{x^2} + 5 = 0);
b) (- 2{x^3} + 3{x^2}-2 = 0) ;
c) (2{x^2}-{x^4} = – 1).
Giải:
a) Xét hàm số (y ={x^3}-3{x^2} + 5) .
Tập xác định : (mathbb R).
* Sự biến thiên:
(y'{rm{ }} = 3{x^{2}} – {rm{ }}6x{rm{ }} = {rm{ }}3xleft( {x{rm{ }} – {rm{ }}2} right)); (y’ = 0 ⇔ x = 0,x = 2).
– Hàm số đồng biến trên khoảng ((-infty;0)) và ((2;+infty)); nghịch biến trên khoảng ((0;2)).
– Cực trị:
Hàm số đạt cực đạt tại (x=0); (y_{CĐ}=5)
Hàm số đạt cực tiểu tại (x=2); (y_{CT}=1)
– Giới hạn:
(eqalign{
& mathop {lim y}limits_{x to – infty } = – infty cr
& mathop {lim y}limits_{x to + infty } = + infty cr} )
Bảng biến thiên:
* Đồ thị
Đồ thị giao (Oy) tại điểm ((0;5))
Số nghiệm của phương trình chính là giao của đồ thị hàm số (y ={x^3}-3{x^2} + 5) và trục hoành. Do đó từ đồ thị ta thấy phương trình có nghiệm duy nhất.
b) Xét hàm số (y =- 2{x^3} + 3{x^2}).
Tập xác định : (mathbb R).
Sự biến thiên:
(y’= – 6{x^{2 + }}6x = -6x(x – 1); y’ = 0 ⇔ x = 0,x = 1).
– Hàm số đồng biến trên khoảng: ((-infty;0)) và ((1;+infty)); nghịch biến trên khoảng ((0;1)).
– Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại (x=0); (y_{CĐ}=0).
Hàm số đạt cực tiểu tại (x=1); (y_{CT}=-1)
– Giới hạn:
(eqalign{
& mathop {lim y}limits_{x to – infty } = – infty cr
& mathop {lim y}limits_{x to + infty } = + infty cr} )
Bảng biến thiên:
* Đồ thị
Số nghiệm của phương trình là giao điểm của đồ thị hàm số (y =- 2{x^3} + 3{x^2}) với đường thẳng (y=2). Từ đồ thị ta thấy phương trình có nghiệm duy nhất.
c) Xét hàm số (y = f(x) =2{x^2}-{x^4})
Tập xác định : (mathbb R).
Sự biến thiên:
(y’ = 4x -4{x^{3}} = 4x(1- {x^2})); (y’ = 0 ⇔ x = 0,x = ±1).
– Hàm số đồng biến trên khoảng: ((-infty;-1)) và ((0;1)), nghịch biến trên khoảng ((-1;0)) và ((1;+infty)).
– Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại hai điểm (x=-1) và (x=1); (y_{CĐ}=1).
Hàm số đạt cực tiểu tại (x=0); (y_{CT}=0)
– Giới hạn:
(eqalign{
& mathop {lim y}limits_{x to – infty } = – infty cr
& mathop {lim y}limits_{x to + infty } = – infty cr} )
Bảng biến thiên:
* Đồ thị
Số nghiệm của phương trình là giao của đồ thị hàm số (y = f(x) =2{x^2}-{x^4}) và đường thẳng (y = -1), từ đồ thị ta thấy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
Bài 5 trang 44 sách sgk giải tích 12
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ((C)) của hàm số
(y = -x^3+ 3x + 1).
b) Dựa vào đồ thị ((C)), biện luận về số nghiệm của phương trình sau theo tham số (m).
(x^3- 3x + m = 0).
Giải:
a) Xét hàm số (y = -x^3+ 3x + 1).
Tập xác định : (mathbb R).
* Sự biến thiên:
(y’ = -3x^2+ 3 = -3(x^2-1)); (y’ = 0 ⇔ x = -1,x = 1).
– Hàm số đồng biến trên khoảng ((-1;1)), nghịch biến trên khoảng ((-infty;-1)) và ((1;+infty)).
– Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại (x=1); (y_{CĐ}=3)
Hàm số đạt cực tiểu tại (x=-1); (y_{CT}=-1)
– Giới hạn:
(eqalign{
& mathop {lim y}limits_{x to – infty } = + infty cr
& mathop {lim y}limits_{x to + infty } = – infty cr} )
Bảng biến thiên:
* Đồ thị:
Đồ thị giao (Oy) tại điểm (I(0;1)) và nhận (I) làm tâm đối xứng.
b) (x^3- 3x + m = 0) (⇔ -x^3+ 3x + 1 = m + 1) (1). Số nghiệm của (1) chính là số giao điểm của đồ thị hàm số (C) với đường thẳng (d) : (y = m + 1).
Từ đồ thị ta thấy :
+) (m + 1 < -1 ⇔ m < -2 ): (d) cắt (C) tại 1 điểm, (1) có 1 nghiệm.
+) (m + 1 = -1 ⇔ m = -2) : (d) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc với (C) tại 1 điểm, (1) có 2 nghiệm.
+) (-1 < m + 1 < 3 ⇔ -2 < m < 2) : (d) cắt (C) tại 3 điểm, (1) có 3 nghiệm.
+) ( m + 1 = 3 ⇔ m = 2) : (d) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc với (C) tại 1 điểm, (1) có 2 nghiệm.
+) (m + 1 > 3 ⇔ m > 2) : (d) cắt (C) tại 1 điểm, (1) có 1 nghiệm.
Bài 6 trang 44 sách sgk giải tích 12
Cho hàm số (y = {{mx – 1} over {2x + m}}) .
a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số (m), hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
b) Xác định m để tiệm cận đứng đồ thị đi qua (A(-1 ; sqrt2)).
c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi (m = 2).
Giải:
a) (y = {{mx – 1} over {2x + m}}).
Tập xác định: (mathbb Rbackslash left{ {{{ – m} over 2}} right}) ;
(y’ = {{{m^2} + 2} over {{{(2x + m)}^2}}} > 0,forall x ne – {m over 2})
Do đó hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
b) Tiệm cận đứng (∆) : (x = – {m over 2}).
(A(-1 ; sqrt2) ∈ ∆) (⇔- {m over 2}= -1 ⇔ m = 2).
c) (m = 2) thì hàm số đã cho có phương trình là:
(y = {{2x – 1} over {2x + 2}}).
Tập xác đinh: (D=mathbb Rbackslash {rm{{ }} – 1} )
* Sự biến thiên:
(y’ = {6 over {{{(2x + 2)}^2}}} > 0forall x in D)
– Hàm số đồng biến trên khoảng: ((-infty;-1)) và ((-1;+infty))
– Cực trị:
Hàm số không có cực trị.
– Tiệm cận:
(eqalign{
& mathop {lim y}limits_{x to pm infty } = 1 cr
& mathop {lim y}limits_{x to – {1^ – }} = + infty cr
& mathop {lim y}limits_{x to – {1^ + }} = – infty cr} )
Tiệm cận đứng là (x=-1), tiệm cận ngang là: (y=1)
– Bảng biến thiên
* Đồ thị
Đồ thị hàm số giao (Ox) tại điểm (({1over 2};0)), giao (Oy) tại điểm ((0;{-1over 2})).
Đồ thị hàm số nhận điểm (I(-1;1)) làm tâm đối xứng.
Giaibaitap.me